[Quema]

Hola si tengo una v.a. \( X \)con media cero y función real \( u(x) \), con \( u(0)=0 \)contínua y diferenciable. Si expando por Taylor alrededor de la media
\( u(x)=u(0)+u^{\prime}(0)x+u^{\prime\prime}(0)\displaystyle\frac{x^2}{2}+u^{\prime\prime\prime}(c)\displaystyle\frac{x^3}{6} \)con \( c\in{}(0,x) \)
Luego es correcto hacer
\( \displaystyle\int_{a}^{b}u(x)f(x)dx \)=
\( \displaystyle\int_{a}^{b}u^{\prime}(0)xf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}u^{\prime\prime}(0)\displaystyle\frac{x^2f(x)dx}{2}+u^{\prime\prime\prime}(c)\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{x^3f(x)dx}{6} \)
Luego hacer lo mismo para \( u(-x) \)y de esa forma comparar \( \displaystyle\int_{0}^{b}u(x)[f(x)-f(-x)]dx \)

[León]

Hola de nuevo.

En principio no es correcto sacar \( u'''(c) \) fuera de la integral porque c depende de x. Pero no entiendo del todo a qué apuntas: quizás te sirva hacer alguna acotación de esa derivada tercera -depende del caso particular que estés estudiando.