Autor Tema: Equilibrio juego no cooperativo 3x2

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16 Diciembre, 2018, 12:59 am
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nchlpz

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Hola:

Tengo un problema en el que necesito calcular los puntos de equilibrio del juego no cooperativo cuya bi-matriz de pagos es la siguiente:

\begin{bmatrix} (-1,-1) & (6,0)  \\ (2,2) & (9,0) \\ (5,5) & (12,0) \end{bmatrix}


Si fuese una matrix 2x2, podría asignar la probabilidad \( x \) a la primera fila, \( 1-x \) a la segunda, \( y \) a la primera columna e \( 1-y \) a la segunda columna. De esta forma, podría dibujar en el plano los valores de \( x \) que maximizan la función de ganancia del jugador fila (\( \pi_1 (x,y) \)), y los valores de \( y \) que maximizan la del jugador columna (\( \pi_2 (x,y) \)).

Al tener una matriz 3x2, no sé muy bien cómo abordar el problema. Si ahora tengo \( a \) para la primera fila, \( b \) para la segunda fila, \( 1-a-b \) para la tercera fila, \( y \) para la primera columna y \( 1-y \) para la segunda columna, tendría que maximizar (\( \pi_1 (a,b,y) \)) respecto a \( a \) y a \( b \), y (\( \pi_2 (a,b,y) \)) respecto a \( y \). Entonces,

\( \pi_1 (a,b,y)=-3b-7y-6a+12 \)
\( \frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial a}}=-6\Rightarrow{} \) \( a=0 \) porque siempre decrece.
\( \frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial b}}=-3\Rightarrow{} \) \( b=0 \) porque siempre decrece.

Análogamente con \( \pi_2 (a,b,y) \):
\( \pi_2 (a,b,y)=-6ay-3by+5y \)
\( \frac{{\partial \pi_2 (a,b,y)}}{{\partial y}}=-6a-3b+5\Rightarrow{} \) si \( (a,b) \) está por debajo de la recta \( -6a-3b+5=0 \), entonces \( y=1 \); si está sobre la recta, cualquier \( y \); en otro caso,\( y=0 \).

Haciendo un boceto en 3 dimensiones me sale que la intersección es el punto \( a=0, b=0, y=1 \).

Muchas gracias de antemano por cualquier comentario.