[adrianainfinitum]

Buenos días,

Me gustaría saber si están bien estas dos demostraciones (dentro del contexto de los naturales donde únicamente se ha introducido la suma y la multiplicación).

El enunciado dice así "la relación < tiene las siguientes propiedades cuando a, b, c, d son números naturales."

$$
a < b \implies a + c < b + c
$$

$$
a < b \quad\textrm{se define como}\quad a + c = b\\
(a+c)+k = b+c \quad \textrm{definición}\\
a+(c+k) = b+c \quad \textrm{asociativa}\\
a+(k+c) = b+c \quad \textrm{conmutativa}\\
(a+k)+c = b+c \quad \textrm{asociativa}\\
(a+k) = b \quad \textrm{cancelativa}\\
a < b \quad \blacksquare
$$

$$
a < b \land c < d \implies a + c < b +d\\\\
$$

$$
a < b \quad\textrm{se define como}\quad a + x = b\\
c < d \quad\textrm{se define como}\quad c + y = d\\
(a + c) + (x + y) =b+d\quad \textrm{definición}\\
a+(c+x) + y=b+d\quad \textrm{asociativa}\\
a+(x+c)+y=b+d\quad \textrm{conmutativa}\\
(a+x)+(c+y)=b+d\quad \textrm{asociativa}\\
a < b
\land c < d \quad \blacksquare
$$

Me parece que es la forma más sencilla de demostrar estas. A mi me parecen correctas pero me gustaría conocer otras formas de hacerlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días,

Me gustaría saber si están bien estas dos demostraciones (dentro del contexto de los naturales donde únicamente se ha introducido la suma y la multiplicación).

El enunciado dice así "la relación < tiene las siguientes propiedades cuando a, b, c, d son números naturales."

$$
a < b \implies a + c < b + c
$$

\(
a < b \quad\textrm{se define como}\quad a + c = b\\
 \)

Ahí más bien sería:

\( a < b \quad\textrm{se define como}\quad \exists c\in \mathbb{N}\textrm{ tal que }a + c = b \)

y además yo no le llamaría \( c \) que es parte del enunciado que quieres demostrar, sino \( k \) (como haces después).

\( a < b \quad\textrm{se define como}\quad \exists k\in \mathbb{N}\textrm{ tal que }a + k = b \)

(a+c)+k = b+c \quad \textrm{definición}\\

Tampoco me gusta que sigas así porque partes de lo que quieres probar. Me parece más claro el sentido inverso:

\( a+k=b\\
(a+k)+c=b+c\quad \textrm{cancelativa}\\
a+(k+c)=b+c\quad \textrm{asociativa}\\
a+(c+k)=b+c\quad \textrm{conmutativa}\\
(a+c)+k=b+c\quad \textrm{asociativa}\\ \)

y de lo último por definición \( a+c<b+c \).

A la luz de eso revisa la segunda.

Saludos.

[adrianainfinitum]

Muchas gracias!

Sí, ciertamente se ve muchísimo más claro en el sentido inverso. Entiendo que la idea es seguir la dirección de la flecha, creo que por eso lo estaba enrevesando.

Entiendo que quedarían tal que así:


\(
a < b \quad\textrm{se define como}\quad \exists k\in \mathbb{N}\textrm{ tal que }a + k = b
 \)

\(
a+k=b\\ (a+k)+c=b+c\quad \textrm{cancelativa}\\ a+(k+c)=b+c\quad \textrm{asociativa}\\ a+(c+k)=b+c\quad \textrm{conmutativa}\\ (a+c)+k=b+c\quad \textrm{asociativa}\\ \)

Por definición \( a+c<b+c \quad\blacksquare \)

\(
a < b \quad\textrm{se define como}\quad \exists x\in \mathbb{N}\textrm{ tal que }a + x = b\\
c < d \quad\textrm{se define como}\quad \exists y\in \mathbb{N}\textrm{ tal que }c + y = d
 \)

\( (a+x)+(c+y)=b+d\quad \textrm{}\\
a+(x+c)+y=b+d\quad \textrm{asociativa}\\
a+(c+x) + y=b+d\quad \textrm{conmutativa}\\
(a + c) + (x + y) =b+d\quad \textrm{asociativa}\\ \)

Por definición \( a+c<b+d \quad\blacksquare \)

[nia]

Nota (por dar la nota, de color).

Por dar una vuelta formalista mas, suelo escribir los enunciados y demostraciones en dos columnas, según estén en una jerga u otra (con el < y la otra), así como las herramientas a emplear (axiomas, definiciones o teoremas). Ocupan mas papel y tal vez sean muchos los pasos superfluos, pero es mas fácil de repasar la circuitería lógica, que estos temas mas parecen juegos de palabras por lo sutil.

(Con otra "mano de gato" futurista, donde las implicaciones (--> o <-->) se hicieran más gráficas y patentes, tal vez se podrían integrar enunciados y demostraciones, acortando el total expositivo sin mayor complicación. Tenemos que pensar en que faltan teoremas mas complicadillos y que son varias jergas mas, en cascada (de ida y vuelta), las que nos esperan a la vuelta de la esquina.. a los torpes e incrédulos como yo, temerosos del futuro.)