[suarezvielma]

Buenas amigos espero que puedan ayudarme en una duda que tengo acerca de un ejercicio que es de la siguiente manera : 

"Dada una matriz A \begin{pmatrix}a&b&3\\ 0&1&a\\ 0&1&2\end{pmatrix} Encuentre:

a) Los valores de a y b para los cuales lambda=2 sea un auto valor de A.

b) Los valores a , b y lambda para los cuales \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1\end{pmatrix} es un autovector de A correspondiente al autovalor lambda.

Espero que puedan ayudarme ya que no entiendo muy bien la manera en como hacer el proceso a la inversa , es decir ir del autovector al autovalor , saludos amigos mil gracias por su ayuda.

[manooooh]

Hola suarezvielma, bienvenido al foro!!

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Espero que puedan ayudarme ya que no entiendo muy bien la manera en como hacer el proceso a la inversa , es decir ir del autovector al autovalor , saludos amigos mil gracias por su ayuda.

Por favor no utilices negrita para todo el mensaje y contanos qué intentaste para resolver el problema, de esta manera podemos ayudarte mejor.

Dada una matriz A \begin{pmatrix}a&b&3\\ 0&1&a\\ 0&1&2\end{pmatrix} Encuentre:

a) Los valores de a y b para los cuales lambda=2 sea un auto valor de A.

Debés plantear \( |A-\lambda I|=0 \), desarrollar el determinante e imponer \( \lambda=2 \). Te vas a encontrar con que 1) Los autovalores no dependen de \( b \); 2) Uno de ellos es \( \lambda_1=a \). Si imponés \( \lambda_1=2 \) los otros autovalores salen porque dependen de \( a \).

Para el apartado b) esperá a alguien más... Mirar respuesta siguiente a esta

Saludos

Mods

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AGREGADO

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Buenas amigos espero que puedan ayudarme en una duda que tengo acerca de un ejercicio que es de la siguiente manera : 

"Dada una matriz A \begin{pmatrix}a&b&3\\ 0&1&a\\ 0&1&2\end{pmatrix} Encuentre:

a) Los valores de a y b para los cuales lambda=2 sea un auto valor de A.

Para que \( \lambda \) sea autovalor de la matriz tiene que cumplirse que \( det(A-\lambda Id)=0 \). Por tanto imponiendo que \( det(A-2Id)=0 \) o equivalentemente \( rango(A-2Id)<3 \). Con eso puedes hallar los valores pedidos.

b) Los valores a , b y lambda para los cuales \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1\end{pmatrix} es un autovector de A correspondiente al autovalor lambda.

Un vector \( v \) es autovector asociado \( a \lambda \) si \( Av=\lambda v \). Impón esa condición para \( v=(4,1,1) \).

Saludos.

[suarezvielma]

Muchas gracias amigos , entendí perfectamente ambas respuestas , ya pude lograr la solución al problema , mil disculpas por las negritas y no utilizar el formato correcto , seré cuidadoso la próxima vez , un saludo y nuevamente mil gracias.

[feriva]

Hola.

Ya está contestado y entendido por lo que veo; pero te pongo esto (ya que lo tengo hecho) por si quieres comprobar

Spoiler

Se tiene

\( \begin{pmatrix}a & b & 3\\
0 & 1 & a\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)
  \)

o sea

\( \begin{pmatrix}a & b & 3\\
0 & 1 & a\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=\begin{array}{c}
\lambda x\\
\lambda y\\
\lambda z
\end{array}
  \)

entonces

\( \begin{pmatrix}a-\lambda & b & 3\\
0 & 1-\lambda & a\\
0 & 1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)
  \)

Para ver de dónde sale esto último plantea el sistema y despeja; basta con que lo hagas con la primera ecuación y ya lo ves para toda la matriz; multiplicas (x,y,z) por la primera fila y tienes

\( ax+by+3z=\lambda x
  \)

depejas igualando a cero

\( ax-\lambda x+by+3z=0
  \)

sacas factor común x

\( (a-\lambda)x+by+3z=0
  \)

Y ahí ya ves los coeficientes de la primera fila de la matriz: \( (a-\lambda),b,3
  \); con las otras haces exactamente igual.

Luego para el vector (4,1,1) es

\( \begin{pmatrix}a-\lambda & b & 3\\
0 & 1-\lambda & a\\
0 & 1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
4(a-\lambda)+b+3\\
1-\lambda+a\\
1+2-\lambda
\end{array}\right)=\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
  \)

(si no me he equivocado)

[cerrar]

Saludos.

[manooooh]

Buenos días feriva

Luego para el vector (4,1,1) es

\( \begin{pmatrix}a-\lambda & b & 3\\
0 & 1-\lambda & a\\
0 & 1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
4a\color{magenta}-\lambda\color{black}+b+3\\
1-\lambda+a\\
1+2-\lambda
\end{array}\right)=\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
  \)

Creo que lo tenés todo bien salvo lo que está marcado en magenta: al multiplicar \( 4 \) por \( a-\lambda \) queda \( 4a-4\lambda \), no \( 4a-\lambda \).

Saludos y buen jueves

[feriva]

Buenos días feriva

Luego para el vector (4,1,1) es

\( \begin{pmatrix}a-\lambda & b & 3\\
0 & 1-\lambda & a\\
0 & 1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
4a\color{magenta}-\lambda\color{black}+b+3\\
1-\lambda+a\\
1+2-\lambda
\end{array}\right)=\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
  \)

Creo que lo tenés todo bien salvo lo que está marcado en magenta: al multiplicar \( 4 \) por \( a-\lambda \) queda \( 4a-4\lambda \), no \( 4a-\lambda \).

Saludos y buen jueves

Sí, lo había editado, manooooh, es que se me ha olvidado ponerlo en azul

Saludos, e igualmente, que pases un buen día.