[juansanro]

Hola, acabo de empezar esta sección de Análisis Funcional y no estoy acostumbrado aún a este tipo de ejercicios, llevo un tiempo intentándolos pero no consigo nada. Agradezco si alguien pudiera ayudarme:

 Sean \( 1<p<2<q<\infty \) y \( f\in{L^p(\mathbb{R^2})}\textrm{ y }f\in{L^q(\mathbb{(R^2)})} \) probar que la función:
\( \displaystyle\frac{(-z,y)}{\sqrt{y^2+z^2}}*(f) \) está en \( L^\infty(R^2) \)

Gracias.

[Masacroso]

Lo más que puedo ver es lo siguiente: si \( f\in L_p\cap L_q(\Bbb R^2) \) entonces es fácil de mostrar que \( f\in L_r(\Bbb R^2) \) para todo \( r\in[p,q] \).

Observa que \( g(y,z):=\frac{(-z,y)}{\sqrt{z^2+y^2}} \) se puede escribir también como \( g(w):=\frac{Aw}{|w|} \) para \( w\in\Bbb R^2 \), donde \( A:=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right) \), entonces tenemos que

\( \displaystyle (g*f)(v)=\int_{\Bbb R^2} Aw/|w| f(v-w)\, dw\tag1 \)

Tomando valores absolutos en el integrando de arriba vemos que si \( f\in L_1(\Bbb R^2) \) entonces \( g*f\in L_\infty(\Bbb R^2) \). Si usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz tampoco sale nada ya que \( \|g\|_2=\infty \). No veo manera, ¿seguro que no faltan datos en el ejercicio?

[juansanro]

Lo más que puedo ver es lo siguiente: si \( f\in L_p\cap L_q(\Bbb R^2) \) entonces es fácil de mostrar que \( f\in L_r(\Bbb R^2) \) para todo \( r\in[p,q] \).

Observa que \( g(y,z):=\frac{(-z,y)}{\sqrt{z^2+y^2}} \) se puede escribir también como \( g(w):=\frac{Aw}{|w|} \) para \( w\in\Bbb R^2 \), donde \( A:=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right) \), entonces tenemos que

\( \displaystyle (g*f)(v)=\int_{\Bbb R^2} Aw/|w| f(v-w)\, dw\tag1 \)

Tomando valores absolutos en el integrando de arriba vemos que si \( f\in L_1(\Bbb R^2) \) entonces \( g*f\in L_\infty(\Bbb R^2) \). Si usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz tampoco sale nada ya que \( \|g\|_2=\infty \). No veo manera, ¿seguro que no
 faltan datos en el ejercicio?

Sí, intenté escribirlo de la misma manera pero me quedo pillado en el mismo sitio que usted. Después de revisar el enunciado varias veces, tengo seguro que esos son los datos que dan.
Gracias por su ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, acabo de empezar esta sección de Análisis Funcional y no estoy acostumbrado aún a este tipo de ejercicios, llevo un tiempo intentándolos pero no consigo nada. Agradezco si alguien pudiera ayudarme:

 Sean \( 1<p<2<q<\infty \) y \( f\in{L^p(\mathbb{R^2})}\textrm{ y }f\in{L^q(\mathbb{(R^2)})} \) probar que la función:
\( \displaystyle\frac{(-z,y)}{\sqrt{y^2+z^2}}*(f) \) está en \( L^\infty(R^2) \)

 Antes de nada.

 ¿\( f \) es una función de \( \mathbb{R}^2 \) en \( \mathbb{R} \)?. Si es así, \( g=\displaystyle\frac{(-z,y)}{\sqrt{y^2+z^2}} \) es una función de \( \mathbb{R^2} \) en \( \mathbb{R^2} \). ¿Exactamente como defines la convolución entre ambas?.

Saludos.

[juansanro]

Hola

Hola, acabo de empezar esta sección de Análisis Funcional y no estoy acostumbrado aún a este tipo de ejercicios, llevo un tiempo intentándolos pero no consigo nada. Agradezco si alguien pudiera ayudarme:

 Sean \( 1<p<2<q<\infty \) y \( f\in{L^p(\mathbb{R^2})}\textrm{ y }f\in{L^q(\mathbb{(R^2)})} \) probar que la función:
\( \displaystyle\frac{(-z,y)}{\sqrt{y^2+z^2}}*(f) \) está en \( L^\infty(R^2) \)

 Antes de nada.

 ¿\( f \) es una función de \( \mathbb{R}^2 \) en \( \mathbb{R} \)?. Si es así, \( g=\displaystyle\frac{(-z,y)}{\sqrt{y^2+z^2}} \) es una función de \( \mathbb{R^2} \) en \( \mathbb{R^2} \). ¿Exactamente como defines la convolución entre ambas?.

Saludos.

Hola, perdón por no aclararlo. Sí, es cierto que  \( f:\mathbb{R^2}\rightarrow{R} \), la convolución entre ambas la considero como:
\( \displaystyle\int_{\mathbb{R^2}}f(x_1-z_1,x_2-z_2)\displaystyle\frac{(-z_2,z_1)}{\sqrt{z_2^2+z_1^2}} \)