[CesarAusa]

Tengo esta desigualdad: \( \displaystyle\frac{b^3}{3}-\displaystyle\frac{b^3}{n}<A<\displaystyle\frac{b^3}{3}+\displaystyle\frac{b^3}{n} \) y tengo estas tres opciones respecto a "A": \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \). La idea es llegar a que \( A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \). Por lo tanto tengo que probar que las otras conducen a una contradicción. Hasta acá todo lindo. Suponemos que \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) es cierta y de la primera desigualdad tomo la segunda (osea la desigualdad de la derecha), y me queda \( A-\displaystyle\frac{b^3}{3}<\displaystyle\frac{b^3}{n} \) para cada entero \( n\geq{1} \), despejando "n" me queda: \( n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \) para cada "n". Pero esta desigualdad es falsa para \( n>\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \). Por lo tanto, la desigualdad \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) conduce a una contradicción. De forma análoga se demuestra la otra desigualdad \( A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \).

Respecto a las cuentas no tengo muchas dudas, sino, mas que nada al procedimiento de demostrar mediante una contradicción que me confunde un poco, sobre todo el hecho del porque toma esa parte de la desigualdad y el porque plantea que es falsa para \( n>\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \). Cualquier aclaración que puedan darme es agradecida, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Tengo esta desigualdad: \( \displaystyle\frac{b^3}{3}-\displaystyle\frac{b^3}{n}<A<\displaystyle\frac{b^3}{3}+\displaystyle\frac{b^3}{n} \)

 En primer lugar y es clave supongo que de que partes de que esas desigualdades son ciertas para cualquier \( n\in \mathbb{N} \).

 Entonces:

y tengo estas tres opciones respecto a "A": \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \). La idea es llegar a que \( A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \). Por lo tanto tengo que probar que las otras conducen a una contradicción. Hasta acá todo lindo. Suponemos que \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) es cierta y de la primera desigualdad tomo la segunda (osea la desigualdad de la derecha), y me queda \( A-\displaystyle\frac{b^3}{3}<\displaystyle\frac{b^3}{n} \) para cada entero \( n\geq{1} \), despejando "n" me queda: \( n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \) para cada "n". Pero esta desigualdad es falsa para \( n>\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \). Por lo tanto, la desigualdad \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) conduce a una contradicción. De forma análoga se demuestra la otra desigualdad \( A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \).

 Simplemente muestras que si \( A>b^3/3 \) encuentras un \( n \) para el cual la desigualdad hipótesis es falsa, luego no puede ocurrir que A>b^3/3.

Saludos.

[delmar]

Hola CesarAusa

Bienvenido al foro

El procedimiento esencialmente es correcto. El ¿por que se toma la primera desigualdad?, en realidad se estudia ambas desigualdades, lo que ocurre es que cuando se supone \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \), la primera desigualdad conduce al absurdo, y en consecuencia eso es lo que se muestra para la demostración,  lo detallamos :

\( A<\displaystyle\frac{b^3}{3}+\displaystyle\frac{b^3}{n}, \ \forall{n}\geq{1} \) esta expresión y la hipótesis (\( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \)) implican : \( 0<A-\displaystyle\frac{b^3}{3}<\displaystyle\frac{b^3}{n}\Rightarrow{n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}}}, \ \forall{n}\geq{1} \)

En consecuencia se llega a que el conjunto de los números enteros positivos (naturales) esta acotado superiormente por el número real \( \displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \), esto constituye un absurdo, por que el conjunto de los números naturales, no esta acotado superiormente.

Para la otra desigualdad algo semejante.

Saludos

Se adelantó Luis Fuentes, esto es un complemento.

Nota : En este tipo de problemas (cuando hay varias alternativas) elegimos una por intuición (experiencia y conocimientos adquiridos) a veces acertamos, en otras fallamos; pero esta falla sirve por que ya sabemos que no es el camino correcto y continuamos probando las diversas alternativas utilizando la intuición, hasta acertar; pero en una presentación formal de la demostración, se pone aquella en la que se acierta (por eso sorprende la demostración). Cuantos más problemas de diversos tipos resuelvas la intuición es más acertada.

[CesarAusa]

Antes que nada gracias a ambos por la bienvenida.

En primer lugar y es clave supongo que de que partes de que esas desigualdades son ciertas para cualquier \( n\in \mathbb{N} \).

Si es así, gracias por la aclaración.

Simplemente muestras que si \( A>b^3/3 \) encuentras un \( n \) para el cual la desigualdad hipótesis es falsa, luego no puede ocurrir que A>b^3/3.
Saludos.

Gracias al complemento más detallado de delmar pude entender mejor esta parte. Muchas gracias Luis Fuentes

En consecuencia se llega a que el conjunto de los números enteros positivos (naturales) esta acotado superiormente por el número real \( \displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \), esto constituye un absurdo, por que el conjunto de los números naturales, no esta acotado superiormente.

Gracias por detallar esto, porque me sirvió para ver justamente lo que no veía sobre los números naturales.

Nota : En este tipo de problemas (cuando hay varias alternativas) elegimos una por intuición (experiencia y conocimientos adquiridos) a veces acertamos, en otras fallamos; pero esta falla sirve por que ya sabemos que no es el camino correcto y continuamos probando las diversas alternativas utilizando la intuición, hasta acertar; pero en una presentación formal de la demostración, se pone aquella en la que se acierta (por eso sorprende la demostración). Cuantos más problemas de diversos tipos resuelvas la intuición es más acertada.

 
Gracias y es algo que lo voy a tener muy en cuenta y respecto a lo sorprendente de una demostración, concuerdo plenamente, muchas gracias y saludos a ambos.

[CesarAusa]

Teniendo en cuente las aclaraciones que me hicieron, llegue a razonarlo de la siguiente manera:
Partiendo de esta desigualdad \( \displaystyle\frac{b^3}{3}-\displaystyle\frac{b^3}{n}<A<\displaystyle\frac{b^3}{3}+\displaystyle\frac{b^3}{n} \) , \( \forall{n}\geq{1} \)
Propongo estas hipótesis: \( 1)A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( 2)A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \), \( 3)A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \) y para llegar a \( 3)A=\displaystyle\frac{b^3}{3} \) contradigo las otras:
\( 1)A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \): despejando \( n \) me queda \( n<\displaystyle\frac{b^3}{\displaystyle\frac{b^3}{3}-A} \) llego a que esto es un absurdo porque los números naturales no están acotados superiormente, por lo tanto \( 1) \) queda descartado.
\( 2)A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \): despejando \( n \) me queda \( n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{n}} \) llego a que esto es un absurdo porque los números naturales no están acotados superiormente, por lo tanto \( 2) \) queda también descartado.
Por lo tanto \( 3) \) es la que me queda por elegir.
2 cosas:
1- Quisiera saber si este procedimiento es correcto.
2- En caso que fuera correcta, mi duda es la siguiente respecto a la imagen.

porque para contradecir \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) toma la desigualdad de la derecha, no deberia tomar la desigualdad de la izquierda? Ya que de esa parte es donde \( \displaystyle\frac{b^3}{3}-\displaystyle\frac{b^3}{n}<A \) y porque mediante la desigualdad \( n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{3}} \) la usa para contradecir \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \), no serian diferentes desigualdades?

[Luis Fuentes]

Hola

\( 1)A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \): despejando \( n \) me queda \( n<\displaystyle\frac{b^3}{\displaystyle\frac{b^3}{3}-A} \) llego a que esto es un absurdo porque los números naturales no están acotados superiormente, por lo tanto \( 1) \) queda descartado.

No está bien. Si \( 1)A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) entonces \( \displaystyle\frac{b^3}{3}-A<0 \). Tienes un denominador negativo que debería de haber cambiado el signo de tu desigualdad.

\( 2)A<\displaystyle\frac{b^3}{3} \): despejando \( n \) me queda \( n<\displaystyle\frac{b^3}{A-\displaystyle\frac{b^3}{n}} \) llego a que esto es un absurdo porque los números naturales no están acotados superiormente, por lo tanto \( 2) \) queda también descartado.
Por lo tanto \( 3) \) es la que me queda por elegir.

Aquí un error análogo.

porque para contradecir \( A>\displaystyle\frac{b^3}{3} \) toma la desigualdad de la derecha, no deberia tomar la desigualdad de la izquierda?

¡No!.

La igualdad de la izquierda dice: \( A>\dfrac{b^3}{3}-\dfrac{b^3}{n} \), es decir, \( A \) mayor que algo "un poquito" (tan poquito como queramos) más pequeño que \( \dfrac{b^3}{3} \), ¿por qué habría de ser contradictorio con que \( A \) sea mayor que \( \dfrac{b^3}{3} \)?

Sin embargo la igualdad de la derecha dice:  \( A<\dfrac{b^3}{3}+\dfrac{b^3}{n} \), es decir  \( A \) menor que algo "un poquito" (tan poquito como queramos) más grande que \( \dfrac{b^3}{3} \). Eso si contradice que \( A \) sea mayor que \( \dfrac{b^3}{3} \), precisamente por que esa acotación superior de \( A \) se acerca tanto como queramos a \( \dfrac{b^3}{3} \).

A efectos de cuentas tienes que tener cuidado al manipular las desigualdades si en algún momento divides o no por un número negativo; eso cambiaría el signo de la desigualdad.

A la luz de este comentario revisa de nuevo la cuestión.

Saludos.

[CesarAusa]

Muchas gracias por las aclaraciones Luis Fuentes, ya pude ver en que me estaba equivocando gracias a ello, saludos