[Francol]

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:


Analizar la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion. Justificar.

\( \|a\vec v + \vec w\| =\|a\vec v\| + \|\vec w\| \) , siendo \( \vec v,\vec w \) vectores en \( \mathbb{R}^3 \) y \( a\in \mathbb{R} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido las fórmulas desde el ordenador.

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Analizar la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion. Justificar.

\( \|a\vec v + \vec w\| =\|a\vec v\| + \|\vec w\| \) , siendo \( \vec v,\vec w \) vectores en \( \mathbb{R}^3 \) y \( a\in \mathbb{R} \)

 ¿Qué has intentado? Piénsalo geométricamente. ¿El módulo de la suma de dos vectores coincide con la suma de los módulos?. Prueba con algunos vectores concretos. Por ejemplo \( \vec v=(1,0,0) \) y \( \vec w=(0,1,0) \).

 ¿Qué conclusión sacas?.

Saludos.

[manooooh]

Por ejemplo \( \vec v=(1,0,0) \) y \( \vec w=(0,1,0) \).

... y \( a\in\Bbb R\setminus\{0\} \) (por ejemplo \( a=1 \)) . Iba a poner el mismo ejemplo jeje, la velocidad gana .

Saludos

[Francol]

Haciendolo con vectores concretos me queda que es falsa pero no se como demostrarlo con vectores generales.
Gracias por las respuestas!

[manooooh]

Hola

Haciéndolo con vectores concretos me queda que es falsa pero no se como demostrarlo con vectores generales.

La afirmación es falsa: en general se tiene que

\( \|a\vec v + \vec w\|\leq\|a\vec v\| + \|\vec w\| \)

(es igual cuando \( \vec v=\vec w=\vec0 \)). Para demostrarlo usá esta prueba.

Saludos

[Ricardo Boza]

Hola,

Haciendolo con vectores concretos me queda que es falsa pero no se como demostrarlo con vectores generales.
Gracias por las respuestas!

Si lo que se pide es probar la veracidad o falsedad de la afirmación:

\( (\forall a\in \mathbb{R})\wedge(\forall \vec{v}\in \mathbb{R}^3)\wedge  (\forall \vec{w}\in \mathbb{R}^3): \: \left\|{a\vec{v}+\vec{w}}\right\| =  \left\|{a\vec{v}}\right\|+ \left\|{\vec{w}}\right\| \qquad (p) \)

La negación de la afirmación anterior es:

\( (\exists a \in \mathbb{R}) \vee (\exists \vec{v} \in \mathbb{R}^3) \vee (\exists \vec{w} \in \mathbb{R}^3): \left\|{a\vec{v}+\vec{w}}\right\| \neq  \left\|{a\vec{v}}\right\|+ \left\|{\vec{w}}\right\| \qquad (\neg p) \)

\( (\neg p) \) es verdadera \( \Longrightarrow{p} \) es falsa.

No encontrar una solución genérica no implica que el proceso carezca de rigor.
El proceso puede ser riguroso aun sin encontrar solución genérica, siempre que se trate de casos como éste.
A esto se le llama "encontrar un contraejemplo".

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Haciendolo con vectores concretos me queda que es falsa pero no se como demostrarlo con vectores generales.
Gracias por las respuestas!

Te lo ha dicho Bobby Fischer pero merece la pena hacer hincapié: para probar la falsedad de una proposición basta dar un ejemplo concreto donde no se cumpla.

Saludos.