[FilippoLapi]

Hola! Necesito por favor ayuda con este problema. Desde ya, muchìsimas gracias.

Dado el polinomio \( P(x) = m(x-m)^3+m^2(x+1) \), determinar el valor de m (perteneciente a los números reales distinto de cero) para que \( P(x) \) resulte divisible por \( Q(x) = x-m \). Escribir el polinomio \( P(x) \) resultante en forma ordenada decreciente y hallar todas las raíces reales de \( P(x) \).

Para más claridad de la consulta, adjunto una imagen con el planteo del problema (recuadro rojo únicamente).

Saludos.

[Abdulai]

Podés hacer la división por Ruffini y analizar las condiciones donde se anula el resto o hacer:

\( P(x)=m(x-m)^3+m^2(x+1)=m(x-m)^3+m^2(x-m+m+1)=m(x-m)^3+m^2(x-m)+m^2(m+1) \)

\( \dfrac{P(x)}{Q(x)}=m(x-m)^2+m^2+\dfrac{m^2(m+1)}{x-m} \) 

el resto se anula para \( m=0\;,\;-1 \) pero como \( m\neq 0 \)   ...

[feriva]

Hola, FilippoLapi  También se puede hacer lo mismo así:

Como el primer sumando es trivialmente divisible entre “x-m”, para obtener una primera raíz basta dividir el segundo sumando por x-m:

El segundo sumando es

\( m^{2}(x+1)=m^{2}x+m^{2}
  \)

Que es un polinomio en “x” de grado 1 cuyos coeficientes son\( m^{2},m^{2}
  \). Entonces, por Ruffini, -1 es una raíz.

Dado que es de grado tres, por el Teorema Fundamental del Álgebra, tiene que tener tres raíces; y una trivialmente es cero (y no la piden.) Pero ya sustituyendo con el -1 se ve que ésta es una raíz doble.

Saludos.

[FilippoLapi]

Gracias por sus respuestas, con vuestra ayuda he podido resolver el problema.

Saludos.