[Mery.Angeles.U]

Hola buenas noches, necesitaría ayuda con este ejercicio. Desde ya muchas gracias.

Hallar el valor de h y k de manera que las rectas de ecuación sean perpendiculares

\( ay-5x-3=0;    2kx+y+h=0 \)

[manooooh]

Hola

Hallar el valor de h y k de manera que las rectas de ecuación sean perpendiculares

\( ay-5x-3=0;    2kx+y+h=0 \)

¿Tenés en claro el concepto de perpendicularidad?

Vendría a ser como lo contrario a paralelo: nada más que en la perpendicularidad las gráficas se cortan. ¿Cómo logramos eso? Si tenemos las rectas de ecuación \( y_1=m_1x+b_1 \), \( y_2=m_2x+b_2 \) la condición de paralelismo nos indica que necesariamente \( m_1=m_2 \). Intentá dar distintos valores a las constantes y vas a ver lo que digo.

En cambio, la condición de perpendicularidad indica que \( m_1\cdot m_2=-1 \) (que surge gracias a que el ángulo entre las rectas es recto), o lo que es lo mismo, \( m_1=-\frac1{m_2} \). De nuevo, probá valores y graficá ambas rectas para ver qué sucede.

Con respecto a las ordenadas al origen, fijate que en ningún momento hemos dicho algo sobre ellas en las condiciones. ¿Eso qué indica? ¿Puede que \( b_1=b_2=b \)? ¿\( b_1\neq b_2 \)? ¿Ambas a la vez...?

Con respecto a \( a \) en \( ay-5x-3=0 \) fijate que de las condiciones se desprende que tienen el mismo coeficiente; por tanto \( a=\cdots \).

Cualquier duda volvé a preguntar.

Saludos

[Mery.Angeles.U]

Hola gracias por la respuesta, sí, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad las sé.
Lo que creo que me quisiste explicar con respecto al termino a, es que vale 1, puede ser?
Pero sigo sin entenderlo del todo, no logro darme cuenta cómo encararlo al ejercicio.
Porque suponiendo que a=1 podría despejar ‘y’ pero en la segunda ecuación tengo tres incógnitas, k, x e y...entonces ahí es donde se me hace el lío en la cabeza...
Desde ya muchas gracias por la ayuda.
Saludos

[manooooh]

Hola

Lo que creo que me quisiste explicar con respecto al término a, es que vale 1, ¿puede ser?

¡Sí, muy bien! .

Porque suponiendo que a=1 podría despejar ‘y’ pero en la segunda ecuación tengo tres incógnitas, k, x e y...entonces ahí es donde se me hace el lío en la cabeza...

Sí, es bastante lío eso jaja. Recordá esta afirmación:

La condición de perpendicularidad indica que \( m_1\cdot m_2=-1 \) (...)

En nuestro caso, \( m_1=-5 \) y \( m_2=2k \) (o al revés, no importa). Creo que ahora sí podés terminar.

Para hallar \( h \) fijate que puede tomar cualquier valor, al sólo mover la gráfica arriba o abajo (la llamada "ordenada al origen"). Fijate un ejemplo más fácil: \( y=\color{red}1\color{black}x \). La recta perprendicular a ella es \( y_{P_1}=-\frac{\color{red}1}1x=-x \), pero también es \( y_{P_2}=-x+1 \), \( y_{P_3}=-x-79 \), etcétera. Creo que podés elegir un sólo valor de los infinitos para \( h \), pero podés tomar el mismo valor de la ordenada al origen que la otra recta, para hacer las cosas más visibles.

Saludos

[Mery.Angeles.U]

Hola, primero y principal, muchísimas gracias por la ayuda y por tomarte el tiempo de responder. Te súper  agradezco!!

Ahora más o menos con lo último que me explicaste, esto fue lo que deduje..

a=1
Por lo tanto \( y=5x+3 \) eso despejado de la primera ecuación. De acá también puedo sacar que el término independiente es 3
 
Despejando ‘y’ de la segunda ecuación sería,

\( y=-2kx-h \)

Entonces

\( m_{1}=5 \)
\( m_{2}=-2k \)

Por lo tanto

\( m_{1}.m_{2}=-1 \)
\( 5.(-2)k=-1 \)
\( -10k = -1 \)
\( k=\dfrac{1}{10} \)

Finalmente puedo obtener

\( y=-2.\dfrac{1}{10}x-h \)
\( y=\dfrac{-1}{5}x-h \)

Donde podría reemplazar h=3, quedando

\( y=\dfrac{-1}{5}x-3 \)

Siendo esa la ecuación perpendicular a la primera.

Puede ser que quede de esa forma?

Y de nuevo muchas gracias!!

Saludos!

[manooooh]

Hola

Está bien. Lo único que haría seria cambiar el signo de \( h \) para que queden ambas \( 3 \). O sea, \( 3=-h\implies h=-3 \), así que la recta perpendicular queda \( y_P=-\frac15x-(-3)=-\frac15x+3 \). Pero sólo es un detalle, podría haber elegido \( h=0 \) (o bien \( h=3 \) como hiciste) y seguiría estando bien.

¿Sabés graficar las rectas en el plano? Si lo hacés ya no vas a tener más dudas.

Saludos

[Mery.Angeles.U]

Sisi sé graficar.
Pero ya al ver la pendiente y que hayan quedado de esa forma me doy cuenta que son perpendiculares. Pero si mi siguiente paso era graficarlas para verificarlas.
Te agradezco nuevamente por la ayuda.
Saludos, y buenas tardes!

[manooooh]

El gráfico:

Saludos

[hméndez]

Hola

Está bien. Lo único que haría seria cambiar el signo de \( h \) para que queden ambas \( 3 \). O sea, \( 3=-h\implies h=-3 \), así que la recta perpendicular queda \( y_P=-\frac15x-(-3)=-\frac15x+3 \). Pero sólo es un detalle, podría haber elegido \( h=0 \) (o bien \( h=3 \) como hiciste) y seguiría estando bien.

¿Sabés graficar las rectas en el plano? Si lo hacés ya no vas a tener más dudas.

Saludos

¡Cuidado, manooooh con esos resultados!

Pero las soluciones son:

\( h\longrightarrow{} \)cualquier valor real.
\( k=\displaystyle\frac{a}{10} \), para \(  a \) cualquier valor real.

Que se justifica bien utilizando el concepto de pendiente de una recta, tal como lo estas haciendo o tambien utilizando vectores.

Saludos

[manooooh]

Hola hméndez

\( k=\displaystyle\frac{a}{10} \), para \(  a \) cualquier valor real.

Que se justifica bien utilizando el concepto de pendiente de una recta, tal como lo estas haciendo o tambien utilizando vectores.

Gracias por la corrección.

Mery.Angeles.U no necesariamente \( a=1 \). De \( ay-5x-3=0\implies y=\dfrac5ax+\dfrac3a \), o sea que la pendiente ahora es \( 5/a \) y no simplemente \( 5 \). Al hacer \( (5/a)\cdot(-2k)=-1 \) debemos despejar \( k \), así que tenemos \( k=\dfrac a{10} \), tal cual dice hméndez. En particular podemos poner \( a=1 \), pero hay infinitos valores más.

Saludos