[Fedeasd]

Dada la matriz B = \begin{bmatrix}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{bmatrix} calcular la matriz A que verifica AB=A+B.

No sé como resolverlo

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro Fedeasd.
Sea \(  A = \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}  \) tienes:
\( A+B = \begin{bmatrix}{2+a}&{1+b}\\{c}&{3+d}\end{bmatrix}  \)
\( A \cdot B = \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{2a}&{a+3b}\\{2c}&{c+3d}\end{bmatrix}  \)
Iguala y resuelve las ecuaciones.

[Abdulai]

Otra forma:   \( A B=A+B\;\;\longrightarrow\;\;AB-A = A(B-I) = B \)  ,  como \( B-I \) es invertible   \( \;\;\longrightarrow\;\;A=B(B-I)^{-1} \)

[hméndez]

Aquí hay otra:   

\( AB-IA-IB+I=I \)

\( (A-I)(B-I)=I \)

\( A=I(B-I)^{-1}+I \)

\( A=(B-I)^{-1}+I \)

Saludos

[feriva]

Otra forma más (editado, que había dado vueltas a lo tonto y es mucho más corto)

\( AB=A+B
  \)

\( AB-A=B
  \)

Sacando factor común A


\( A(B-I)=B
  \)

Entonces con \( A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & e
\end{array}\right)
  \) sustituyes

\( \left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & e
\end{array}\right)\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1\\
0 & 3
\end{bmatrix}
  \)

multiplicando las matrices

\( \begin{bmatrix}a & ,a+2b\\
{\color{blue}c} & ,c+2e
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1\\
0 & 3
\end{bmatrix}
  \) (corregida una errata, había puesto una “a” donde la “c” azul)

Spoiler

Sale

\( A=\begin{bmatrix}2 & -\dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}
  \).

Y se comprueba

\( \begin{bmatrix}2 & -\dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2 & 1\\
0 & 3
\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{cc}
4 & \dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{9}{2}
\end{array}\right]
  \)

\( \begin{bmatrix}2 & -\dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & 1\\
0 & 3
\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{cc}
4 & \dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{9}{2}
\end{array}\right]
  \)

[cerrar]

Saludos.