Hola. Muchas gracias de antemano y disculpa por el uso incorrecto del editor Latex para ecuaciones.
O sea que la solución completa quedaría:
Considerar que "y" representa la cantidad de nicotina en el cuerpo.
Considerar que "y(t)" representa la cantidad de nicotina en el cuerpo en función del tiempo; o sea, en un tiempo determinado.
Dado que la tasa de desintegración es proporcional a "y", se sabe que:
\( y'(t)=-ky(t) => y=ce^{kt} \)
donde "t" es el tiempo en horas.
Para encontrar los valores de las constantes "c" y "k", aplicar las condiciones iniciales:
condición inicial 1: "...si una persona tiene inicialmente 2 mg de nicotina en la sangre..." \( => y(0)=2 \)
condición inicial 2: "La semivida de la nicotina en la sangre del cuerpo humano es 2 horas..."; o sea, la semivida es el tiempo que tarda la nicotina en reducirse a la mitad. \( => y(2)=\displaystyle\frac{1}{2}y(0) \)
Con base en que y=2 cuando t=0, se puede escribir:
\( 2=ce^{k\cdot 0} => ce^0 \)
lo cual implica que c=2.
Luego, con base en que \( y(2)=\displaystyle\frac{1}{2}y(0) \); o sea, al pasar 2 horas (y(2)), el nivel de nicotina en la sangre es la mitad del nivel inicial (y(0)), se puede escribir:
\( y(2)=\displaystyle\frac{1}{2}y(0) \)
\( ce^{k\cdot 2}=\displaystyle\frac{1}{2}ce^{k\cdot 0} \)
\( e^{2k}=\displaystyle\frac{1}{2} \)
\( 2k=-log(2) \) log, en este caso se refiere a logaritmo en base e, también, logaritmo natural (ln)
\( k=-\displaystyle\frac{log(2)}{2} \)
Por último, la cantidad que le quedará pasada 1 hora será:
\( y=ce^{kt} \)
\( y(1)=2e^{-(log(2)/2)*1} \)
\( y(1)=2e^{-log(2)/2} \)
\( y(1)=2*(1/e^{log(2)/2}) \)
\( y(1)=2*(1/e^{sqrt(2)} \)
\( y(1)=2*1/sqrt(2) \)
\( y(1)=2*sqrt(2)/2 \)
\( y(1)=sqrt(2) \approx{1.4142} \) solución para t=1
