Hola
Llamamos \( f \) y \( F \) a la función de densidad y de distribución de \( X \) respectivamente y \( g \) y \( G \) a la de densidad y distribución de \( Y \).
Como \( X \) es uniforme en \( (0,1): \)
\( f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in (0,1)\\0 & \mbox{si}& x\not\in (0,1)\end{matrix} \)
\( F(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }& x\leq 0\\x & \mbox{si}& x\in (0,1)\\1 & \mbox{si}& x\geq 1\end{matrix} \)
Método I: Hay un resultado teórico que te permite directamente calcular la densidad de una transformación:
\( g(z)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}f(h^{-1}_1(z))|\displaystyle\frac{{\partial h_i^{-1}}}{{\partial z}}(z)| \)
donde \( h^{-1}_i \) son las inversas de una transformación en un punto.
En tu caso:
\( (x-1/2)^2=z \quad \Leftrightarrow{} \quad x=1/2\pm \sqrt{z} \)
para \( z\in (0,1/2) \). Por tanto tienes dos inversas:
\( h_1^{-1}(z)=1/2+\sqrt{z},\quad h_2^{-1}(z)=1/2-\sqrt{z}. \)
Por tanto para \( z\in (0,1/2) \) te queda:
\( g(z)=1\cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{z}}+1\cdot 1\cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{z}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{z}} \)
Método II: Calculamos la función de distribución de \( Z \):
\( G(z)=P(Z\leq z)=P(h(X)\leq z)=P((X-1/2)^2\leq z)= \)
\( =P(1/2-\sqrt{z}\leq X\leq 1/2+\sqrt{z})=2\sqrt{z} \)
para \( z\in (0,1/2) \).
Derivando obtienes la función de densidad.
Saludos.
