Hola
Si, en este caso si. Pero tengo que demostrarlo con las propiedades del rango
Todo lo que te he indicado son propiedades del rango. Otra cosa es que te las hayan explicado o no.
y el teorema PAQ-reducción, es decir, tengo que demostrarlo para cualquier bloque A,B,C.
No estoy 100% seguro a que teorema te refieres. Supongo que es que toda matriz se puede reducir combinando operaciones elementales fila y columna a una matriz toda de ceros, salvo una diagonal de unos de longitud su rango. Las operaciones elementales fila y columna equivalen al producto a izquierda y derecha por matrices inversibles \( P \) y \( Q \).
No puedo saber cuantas filas tienen A,B,C independientes pues son bloques cualquieras,
Este comentario no lo entiendo bien; simplemente trabajas en gerérico escogiendo una variable que representa el número de filas independientes. Supongo que quieres decir que no has estudiado aun que el rango equivale al número de filas independientes. ¿Es eso?.
Es decir, la demostración tiene que darse a partir de las propiedades del rango y del determinante, pienso que la forma más fácil es mediante el teorema PAQ-reducción como lo he hecho más arriba, pero no encuentro ninguna pista para demostrarlo.
Conoces esta definición de rango: El orden del mayor menor (=submatriz cuadrada) de determinante no nulo.
Entonces si \( A \) tiene rango \( a \) puedes tomar \( a \) filas y columnas de la matriz \( A \) que forman una matriz cuadrada \( A' \) de determinante no nulo. Si \( B \) tiene rango \( b \) puedes tomar \( b \) gilas y columnas de la matriz \( A \) que forman una matriz cuadrada \( B' \) de determinante no nulo.
Ahora tomando las correspondientes \( a+b \) filas y columnas de la matriz \( X=\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{0}&{B}\end{bmatrix} \) tienes una submatriz cuadrada \( X'=\begin{bmatrix}{A'}&{C'}\\{0}&{B'}\end{bmatrix} \). Se tiene que:
\( det(X')=det(A')det(B')\neq 0 \)
y por tanto r\( ango(X)\geq a+b \) porque tienes un menor de orden \( a+b \) de determinante no nulo.
Saludos.
P.D. Si todavía esto no te vale dime exactamente que definición de rango te han dado y un resumen de las propiedades que puedes usar.
Hola!
Muchas gracias por contestar, tenias razón desde el principio.
Hoy he estado mirando como demostrarlo y mas o menos me ha salido, te escribo lo que he hecho que es lo que comentaste:
1. Cuando C es un bloque nulo, \( C=0 \) entonces la matriz X será de la forma:\( X=\begin{bmatrix}{A}&{0}\\{0}&{B}\end{bmatrix} \), aquí puedo hacer cambios elementales de filas A y a B puesto que estos cambios no afectaran a ningun otro bloque. Entonces aqui trivialmente tendré que \( rango(X)=rango(A)+rango(B) \) que es el numero de filas de A y B que no son combinaciones lineales.
2. El problema realmente lo tengo cuando C no es nulo , entonces tengo que demostar que \( rango(X)\geq{rango(A)+rango(B)} \). Lo que he hecho es:
\( X=\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{0}&{B}\end{bmatrix} \), el rango de X no depende de si escalonamos la matriz por filas o por columnas. Digo que \( rango (X)=rango(A C)+rango (B) \)¿es esto correcto?
Entonces analizo el \( rango(A C ) \), que tendremos que \( rango(A C)\leq{min\left\{{m,n+k}\right\}} \) creo , no se que subindices he utilizado. Entonces \( rango(A)\leq{min\left\{{m,n}\right\}} \) que claramente vemos que \( n<k+n \).
Entonces, \( min\left\{{m,n}\right\}\leq{min\left\{{m,k+n}\right\}} \). Por lo que se deduce que: \( rango (A)\leq{rango (A C)} \).
Por lo que \( rango X=rango (A C)+ rango (B)\geq{rango (A) + rango (B)} \).
El principal problema de mi demostración es que tomo que el rango de A es necesariamente el máximo, pero puede suceder que tenga filas nulas.
Pd: cuando escribo \( rango (A C ) \) no es el bloque A por el bloque C, es el rango de los dos bloques juntos, puestos que uno depende del otro.
Tu forma de hacerlo también me gusta bastante. Gracias!
Luego, existiría alguna forma de calcular el rango de X en función de A,B,C?
