[AzazelTM]

Hola amigos qué tal!.
Necesito ayuda para la explicación de la siguiente ecuación:


Pruebe que el numero \( (121)_b \) es un cuadrado perfecto para cualquiera que sea la base b.

Solución:
\( (121)_b=b^2+2b+1=(b+1)^2 \).


Aún no entiendo por qué esa es la solución, agradecería su ayuda

[Fernando Revilla]

\( (121)_b=b^2+2b+1=(b+1)^2 \). Aún no entiendo por qué esa es la solución, agradecería su ayuda

          \( (121)_b=b^2+2b+1 \) (representación posicional arábiga de un número natural).
          \( b^2+2b+1=(b+1)^2 \) (identidad notable).
          \( (b+1)^2  \) es cuadrado perfecto (definición de cuadrado perfecto).

[feriva]

Aún no entiendo por qué esa es la solución, agradecería su ayuda

Ya está explicado por Fernando, pero medita un poco cómo está inventado.

La base siempre se escribe 10 (b=10) por tanto, 100 es \( b^{2}
  \) para cualquier base.

Entonces, para cualquier número de tres cifras que empiece por 1 tienes que el número es la suma de \( b^{2}+...
  \) y lo venga detrás.

Si, además, el número de tres cifras acaba en 1, como \( 1=1^{2}
  \), tenemos la suma de dos cuadrados perfectos y otro número \( b^{2}+k+1^{2}
  \) (también en cualquier base el 1 se va a escribir 1).

Ahora, como el desarrollo del binomio \( (x+y)^{2}
  \) es la suma de los cuadrados de “x” e “y” más un tercer sumando que viene dado por el doble del producto de “x” por “y”, el señor que ha diseñado el problema sólo ha tenido que buscar la segunda cifra así: \( k=2\cdot(b\cdot1)
  \); y entonces \( 10^{2}+2\cdot10+1=121
  \).

Saludos.

[sugata]

Una cosa feriva.
Como termina en 1, \( b^0=1 \), y luego de ahí, como bien dices, \( 1^2=1 \)

[feriva]

Una cosa feriva.
Como termina en 1, \( b^0=1 \), y luego de ahí, como bien dices, \( 1^2=1 \)

Hola, Sugata. Sí, eso es, la potencia del tercer sumando para la base es cero.

Saludos.

[AzazelTM]

Muchísimas gracias por la ayuda, no había tenido en cuenta que \( (10)_b = b \), era algo que pasaba por alto! Muy bonita comunidad.

[sugata]

Muchísimas gracias por la ayuda, no había tenido en cuenta que \( (10)_b = b \), era algo que pasaba por alto! Muy bonita comunidad.

Es la propia definición de base como te ha dicho Fernando Revilla.

\( (121)_b=b^2+2b+1=(b+1)^2 \). Aún no entiendo por qué esa es la solución, agradecería su ayuda

Recuerda que un número en una base posicional es el número multiplicado por la base elevado a ese número....


          \( (121)_b=b^2+2b+1 \) (representación posicional arábiga de un número natural).
          \( b^2+2b+1=(b+1)^2 \) (identidad notable).
          \( (b+1)^2  \) es cuadrado perfecto (definición de cuadrado perfecto).

[feriva]

Muchísimas gracias por la ayuda, no había tenido en cuenta que \( (10)_b = b \), era algo que pasaba por alto! Muy bonita comunidad.

De nada.
 
No sé si queda muy claro escrito como lo has puesto:

Por ejemplo, 3 en base tres, se escribe 10 con el subíndice 3; entonces: \( 10_{3}=3_{10}
  \)

En general sería \( 10_{b}=b_{10}
  \).


Saludos.