[mh]

Hola,

Tengo dudas con el siguiente problema de aplicación del Teorema del Límite Central: si lanzamos una moneda al aire n veces, estimar el valor de n de manera que la frecuencia relativa del número de caras diste de 1/2 menos de 0,01 con una probabilidad de 0,95.

Tenemos que el número de caras obtenidas en n lanzamientos independientes de una moneda viene dado por una variable aleatoria X binomial de parámetros n y p = 1/2:

\( X \rightarrow B(n, \displaystyle\frac{1}{2}) \)

Por lo tanto, tenemos que:

\( E(X) = \displaystyle\frac{n}{2} \)

\( Var(X) = \displaystyle\frac{n}{4} \)

Por el Teorema del Límite Central, tenemos que Z se aproxima a una distribución normal estándar cuando n tiende a infinito:

\( Z = \displaystyle\frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}} = \displaystyle\frac{X - \displaystyle\frac{n}{2}}{\sqrt{\displaystyle\frac{n}{4}}} \)

Si nos piden:

\( P(|X - \displaystyle\frac{1}{2}| < 0,01) = 0,95 \)

Pero no sé si esto es correcto ni cómo seguir a partir de allí. ¿Cómo es posible utilizar la igualdad anterior de Z para continuar con el cálculo de la n?


Muchas gracias por adelantado.

[Luis Fuentes]

Hola

 OJO. Fíjate que te están diciendo la frecuencia relativa, es decir, no el número de caras sino el cociente entre el número de caras y el número de intentos.

 Entonces el teorema central del límite funciona así: tienes \( n \) variable aleatorias \( X_i  \) independientes e idénticamente disitibuídas, que toman los valores \( 1 \) (cara) y \( 0 \) (cruz) de manera equiprobable. Por tanto tienen media \( 1/2 \) y varianza \( 1/4 \).

 Por el teorema central del límite, la variable \( X \) que mide la frecuencia relativa:

 \( X=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \)

 sigue una distribución normal de media \( \mu=1/2 \) y varianza \( \sigma^2=1/{4n} \).

 Ahora tienes que calcular la varianza (y de ahí \( n \)) sabiendo que:

 \( P(|X-\mu|<0.01)=0.95 \)

 Inténtalo.

Saludos.

[mh]

Hola,

Muchas gracias por tu ayuda, el_manco. Siguiendo tus indicaciones he podido continuar con el desarrollo del problema; lo escribo aquí por completitud. Tenemos que, por el teorema del límite central, la variable aleatoria \( Z \), definida como:

\( Z = \displaystyle\frac{X - \displaystyle\frac{1}{2}}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}} \)

tiende a tener una distribución normal estándar a medida que \( n \) aumenta.

Tenemos que resolver la ecuación:

\( P\left(\left|X - \displaystyle\frac{1}{2}\right| < 0,01\right) = 0,95 \)

Desarrollando, tenemos:

\( P\left(\left|X - \displaystyle\frac{1}{2}\right| < 0,01\right) = P\left(\displaystyle\frac{\left|X - \displaystyle\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}} < \displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) = \)

\( = P\left(|Z| < \displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) = P\left(-\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}} < Z < \displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) = \)

\( = F_{Z}\left(\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) - F_{Z}\left(-\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) = F_{Z}\left(\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) - \left(1 - F_{Z}\left(\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right)\right) = \)

\( = 2F_{Z}\left(\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) - 1 = 0,95 \Rightarrow F_{Z}\left(\displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}}\right) = 0,975 \)

Utilizando las tablas de la distribución normal estándar, vemos que \( F_{Z}(1,96) = 0,975 \). Por lo tanto, tenemos:

\( \displaystyle\frac{0,01}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4n}}} = 1,96 \Rightarrow n = \displaystyle\frac{1,96^2}{0,01^2 \cdot 4} = 9604 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 OK. Correcto.

Saludos.