Autor Tema: Pregunta sobre ternas pitagóricas

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23 Noviembre, 2018, 12:15 pm
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feriva

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Una pregunta:

Suponiendo la igualdad para potencias pares dadas por “primos menos 1”

\( a^{p-1}+b^{p-1}=c^{p-1}
  \)

\( a^{p-1}+b^{p-1}-1=c^{p-1}-1
  \)

Entonces, si \( b^{p-1}-1,\, c^{p-1}-1
  \) son múltiplos de “p” por el PTF, también lo es \( a^{p-1}
  \)

(sin perder generalidad para las letras).

Luego si p=3, tenemos el caso n=2, y de lo visto se deduciría que en todas las ternas pitagóricas primitivas tiene que haber necesariamente un múltiplo de 3. ¿Está bien razonado?

Mirando unas cuantas ternas parece que sí se da eso.

Saludos.

(y muchas gracias, como siempre).

23 Noviembre, 2018, 12:24 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Una pregunta:

Suponiendo la igualdad para potencias pares dadas por “primos menos 1”

\( a^{p-1}+b^{p-1}=c^{p-1}
  \)

\( a^{p-1}+b^{p-1}-1=c^{p-1}-1
  \)

Entonces, si \( b^{p-1}-1,\, c^{p-1}-1
  \) son múltiplos de “p” por el PTF, también lo es \( a^{p-1}
  \)

(sin perder generalidad para las letras).

Luego si p=3, tenemos el caso n=2, y de lo visto se deduciría que en todas las ternas pitagóricas primitivas tiene que haber necesariamente un múltiplo de 3. ¿Está bien razonado?

Mirando unas cuantas ternas parece que sí se da eso.

Si. En general por el pequeño Teorema de Fermat si \( p \) es primo entonces para \( x\neq 0 \) mod \( p \), \( x^{p-1}=1 \) mod \( p \).

Por tanto si \( a ^{p-1}+b^{p-1}=c^{p-1} \) alguno de los tres sumandos tiene que ser múltiplo de \( p \); en otro caso tendríamos (mod \( p \)), \( 1+1=1 \), lo cual es imposible.

Saludos.

23 Noviembre, 2018, 12:38 pm
Respuesta #2

feriva

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Si. En general por el pequeño Teorema de Fermat si \( p \) es primo entonces para \( x\neq 0 \) mod \( p \), \( x^{p-1}=1 \) mod \( p \).

Por tanto si \( a ^{p-1}+b^{p-1}=c^{p-1} \) alguno de los tres sumandos tiene que ser múltiplo de \( p \); en otro caso tendríamos (mod \( p \)), \( 1+1=1 \), lo cual es imposible.

Saludos.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

23 Noviembre, 2018, 10:06 pm
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola feriva, te comento un par de cosas sobre esto por si te es de utilidad.

Para toda ecuación del UTF de exponente par,  \( 3 \)  dividirá siempre a una de las tres variables. Puesto que:  \( z^{2x}=x^{2x}+y^{2x} \)   \( \Rightarrow{} \)   \( (z^x)^{3-1}=(x^x)^{3-1}+(y^x)^{3-1} \) .  Por la razón que te ha dicho Luis arriba.

Pero es más, en el caso del UTF4, no es imposible averiguar que  \( 3 \)  divide á  " \( x \) "  y sólo á  " \( x \) " .

Resumo pero creo que se entiende:

\( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ;  \( x^2=2pq \)  ;  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos, uno de ellos par.

Las ternas  \( p,q,y \)  \( \wedge \)  \( p,q,z \)  son coprimas entre sí 2 a 2 cada una de ellas.

Por ejemplo, tenemos:  \( z^2=p^2+q^2 \) .  Si 3 no divide á  \( p,q,z \) ;  Módulo 3, tendré:  \( 1=1+1 \) :  Bien por el Pequeño Teorema de Fermat, pues:  \( z^{3-1}=p^{3-1}+q^{3-1} \) ; bien porque el residuo cuadrático al dividir entre 3 los tres cuadrados será siempre 1. Ya sabemos entonces que 3 divide a uno de los términos. Pero no puede ser á  " \( z \) " ,  pues si no:  \( 0=1+1 \) .  Luego dividirá á  " \( p \) "  ó á  " \( q \) " .  Pero es que tampoco puede ser á  " \( p \) " ;  puesto que:

\( p^2=z^2-q^2 \)

\( p^2=y^2+q^2 \)   

Por lo tanto, como mínimo:  \( 81\mid q^2 \)  \( \wedge \)  \( 3\mid x \)  (Ya que:  \( x^2=2pq \)) 

Naturalmente, cuando me di cuenta de esto, le di 200 vueltas a ver si encontraba una contradicción por este motivo. Hasta que me paré y me dije: " Y por qué ¡*******! tiene que haber una contradicción porque " \( 3 \) " divida á  " \( x \) " .  No puede haberla."  En fin, o eso creo

Un saludo, 
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23 Noviembre, 2018, 10:59 pm
Respuesta #4

mente oscura

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Buenas noches.

Y más rápido:

\( a^4=b^4-c^4 \) Editado error signo.

Si fuese posible, que ya sabemos que no:

\( a^4= (b+c)(b-c)(b^2+c^2) \).

Si \( 3 \cancel{|}a \rightarrow{}3|(b+c) \ V \ (b-c) \)

Un cordial saludo.

23 Noviembre, 2018, 11:18 pm
Respuesta #5

Fernando Moreno

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Hola mente, no te sigo. En tu ejemplo y al margen de otras consideraciones, si  \( 3\nmid a \) ,  entonces dividiría á  " \( b \) "  ó  " \( c \) "  ¿no? Eres tan escueto que me es difícil seguirte, aunque sé que es seguro que hay una razón
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23 Noviembre, 2018, 11:37 pm
Respuesta #6

mente oscura

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Hola mente, no te sigo. En tu ejemplo y al margen de otras consideraciones, si  \( 3\nmid a \) ,  entonces dividiría á  " \( b \) "  ó  " \( c \) "  ¿no? Eres tan escueto que me es difícil seguirte, aunque sé que es seguro que hay una razón

Hola, Fernando, es que no me sigo ni yo.  :D

Me he equivocado al escribir mi respuesta

Si \( 3 \cancel{|}a \rightarrow{}3 \cancel{|}(b+c) \ V \ (b-c) \).

Entonces \( 3|b \ V \ c \)

Si \( b \equiv{c} \mod(3) \rightarrow{}3|(b-c) \rightarrow{}3|a \)

Si  \( b \cancel{\equiv{}}c \mod(3) \rightarrow{}3|(b+c) \rightarrow{}3|a \)


Un cordial saludo.

23 Noviembre, 2018, 11:51 pm
Respuesta #7

feriva

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Hola a los dos. Veo que he despertado a los más expertos fermateros con mi inocente pregunta :D

De vez en cuando me entretengo mirando, pero no tengo experiencia en darle vueltas a esto; aunque me al final me voy acabar aficionando también :)

Saludos.

23 Noviembre, 2018, 11:58 pm
Respuesta #8

Fernando Moreno

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Hola mente. Quizás ande yo un poco espeso o también es que las congruencias no son lo mío, aunque las utilice algunas veces.

Yo supongo que:  \( 3\nmid b-c \) ,  que  \( 3\mid b \)   \( \wedge \)   \( b=9\,,\,c=4 \) .  Entonces no tiene que darse necesariamente que:  \( 9\equiv{4}\,(mod\,\,3) \)  ni que  \( 9\equiv{-4}\,(mod\,\,3) \) .


Un saludo,


PD. Hola feriva. Tu pregunta no era tan inocente, no te quites valor.
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24 Noviembre, 2018, 01:00 am
Respuesta #9

mente oscura

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Hola mente. Quizás ande yo un poco espeso o también es que las congruencias no son lo mío, aunque las utilice algunas veces.

Yo supongo que:  \( 3\nmid b-c \) ,  que  \( 3\mid b \)   \( \wedge \)   \( b=9\,,\,c=4 \) .  Entonces no tiene que darse necesariamente que:  \( 9\equiv{4}\,(mod\,\,3) \)  ni que  \( 9\equiv{-4}\,(mod\,\,3) \) .


Un saludo,


PD. Hola feriva. Tu pregunta no era tan inocente, no te quites valor.

Pero, ya estás suponiendo que "b" es múltiplo de 3.

Lo expuesto por Feriva es que uno de los tres tiene que ser múltiplo de 3.

Si ni "b", ni "c" son múltiplos de 3, entonces es dónde entra mi afirmación. Su suma o diferencia, sí serían múltiplos de tres y, por tanto, "a" sería múltiplo de 3.

En las ternas pitagóricas hice un pequeño estudio, que "anda" por ahí y existían otras propiedades interesantes.

Refiriéndome a ternas primitivas y siendo \( a^2=b^2+c^2 \).

1ª) "a" tiene que ser impar.

2ª) "a" no puede ser múltiplo de 3.

Si a tí, o a Feriva, os interesa, lo busco y enlazo.

Un cordial saludo.






24 Noviembre, 2018, 09:33 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Para toda ecuación del UTF de exponente par,  \( 3 \)  dividirá siempre a una de las tres variables. Puesto que:  \( z^{2x}=x^{2x}+y^{2x} \)   \( \Rightarrow{} \)   \( (z^x)^{3-1}=(x^x)^{3-1}+(y^x)^{3-1} \) .  Por la razón que te ha dicho Luis arriba.

Pero es más, en el caso del UTF4, no es imposible averiguar que  \( 3 \)  divide á  " \( x \) "  y sólo á  " \( x \) " .

En general si se tiene \( z^{n(p-1)}=x^{n(p-1)}+y^{n(p-1)} \) con \( p \) primo, por el pequeño Teorema de Fermat si \( t\neq 0 \) entonces \( t^{p-1}=1 \) mod \( p \) y por tanto \( t^{n(p-1)}=1 \) mod \( p \).

Por tanto necesariamente alguna de las tres son múltiplos de \( p \), en otro caso tendríamos \( 1=1+1 \) mod \( p \); y en particular \( x \) ó \( y \) deben de ser mútiplos de \( p \) en otro caso tendríamos \( 0=1+1 \).

Saludos.

24 Noviembre, 2018, 12:04 pm
Respuesta #11

Fernando Moreno

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Hola mente oscura y Luis. Ok, gracias.

Una precisión solamente sobre lo que dije. Me he expresado mal cuando dije que 3 divide sólo a  " \( x \) " .  Tenía que haber dicho que sólo divide al término "par". Que en este caso yo determiné que era  " \( x \) "  pero que podía haber sido  " \( y \) " .

Un saludo,
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24 Noviembre, 2018, 01:53 pm
Respuesta #12

feriva

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Una precisión solamente sobre lo que dije. Me he expresado mal cuando dije que 3 divide sólo a  " \( x \) " .  Tenía que haber dicho que sólo divide al término "par". Que en este caso yo determiné que era  " \( x \) "  pero que podía haber sido  " \( y \) " .


Hola, Fernando. No veo eso:

\( a=m^{2}-n^{2}
  \)

\( c=m^{2}+n^{2}
  \)

Si \( a=\overset{\text{·}}{3}
  \), entonces \( m=\overset{\text{·}}{3}
  \) y \( n=\overset{\text{·}}{3}
  \) o bien \( m\neq\overset{\text{·}}{3}
  \) y \( n\neq\overset{\text{·}}{3}
  \).

El primer caso no puede ser, porque entonces “a,c” serían múltiplos de 3 y no serían coprimos.

Así pues es el segundo caso.

Entonces, como no son múltiplos de 3 ni “m” ni “n”, no lo es \( b=\overset{\text{·}}{2mn}
  \), el único múltiplo de 3 será “a”; ya que, si \( m^{2}-n^{2}
  \) es múltiplo de 3, no implica que lo sea \( m^{2}+n^{2}
  \).

Pero se puede dar también sin ningún problema otro caso, que “m” o “n” (uno de ellos) sea múltiplos de 3 sin que lo sea la suma ni la diferencia de cuadrados. En ese caso \( b=\overset{\text{·}}{2mn}
  \) será el múltiplo de 3.

Saludos.

24 Noviembre, 2018, 02:18 pm
Respuesta #13

Fernando Moreno

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Hola feriva, no sé si te sigo. Yo a lo que me refiero es a esto:

Pero se puede dar también sin ningún problema otro caso, que “m” o “n” (uno de ellos) sea múltiplos de 3 sin que lo sea la suma ni la diferencia de cuadrados. En ese caso \( b=\overset{\text{·}}{2mn}
  \) será el múltiplo de 3.

O sea, tengo que:

\( z^2=p^2+q^2 \)

\( y^2=p^2-q^2 \)

Y sé que  \( 3\nmid y^2,z^2 \) . ¿Por qué lo sé? Pues dado:  \( z^2=p^2+q^2 \) ,  no puede darse:  \( 0=1+1 \) .  Luego  " \( 0 \) "  debe ser por fuerza  " \( p^2\,\vee\,q^2 \) " .  A partir de ahí se deduce fácilmente que  \( 9\mid q \)  puesto que:  \( x^2=2pq \) .  Por eso en el UTF4 podemos decir siempre que  " \( 3 \) "  dividirá al término "par" (en este ejemplo: " \( x \) ").

No sé si me explico. Un saludo,
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24 Noviembre, 2018, 03:35 pm
Respuesta #14

feriva

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Hola feriva, no sé si te sigo. Yo a lo que me refiero es a esto:

Pero se puede dar también sin ningún problema otro caso, que “m” o “n” (uno de ellos) sea múltiplos de 3 sin que lo sea la suma ni la diferencia de cuadrados. En ese caso \( b=\overset{\text{·}}{2mn}
  \) será el múltiplo de 3.

O sea, tengo que:

\( z^2=p^2+q^2 \)

\( y^2=p^2-q^2 \)

Y sé que  \( 3\nmid y^2,z^2 \) . ¿Por qué lo sé? Pues dado:  \( z^2=p^2+q^2 \) ,  no puede darse:  \( 0=1+1 \) .  Luego  " \( 0 \) "  debe ser por fuerza  " \( p^2\,\vee\,q^2 \) " .  A partir de ahí se deduce fácilmente que  \( 9\mid q \)  puesto que:  \( x^2=2pq \) .  Por eso en el UTF4 podemos decir siempre que  " \( 3 \) "  dividirá al término "par" (en este ejemplo: " \( x \) ").

No sé si me explico. Un saludo,

Ah, que te refieres al caso n=4, no a las ternas pitagóricas. Tengo que repasarlo a ver cómo se hacía la sustitución en la terna y eso, que no
 me acuerdo, pero tendrás razón.

En el caso n=4 tenemos n=5-1 y  sabemos, por lo mismo que decía al inicio del hilo,  que entonces uno de ellos tiene que ser múltiplo de 5. (Supongo que también lo usarás, pero por citarlo).

Saludos.


24 Noviembre, 2018, 04:45 pm
Respuesta #15

Fernando Moreno

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Hola feriva. Sí, me refería al caso n = 4. Me ha parecido verte interés no sólo por el caso n = 2, sino por las cuestiones en general del UTF, cuyas soluciones son siempre en forma de ternas de números y entonces he querido compartir contigo -y con todo el que lo lea-, que en el caso del UTF4 no sólo 3 divide a una de las variables, sino que lo hace necesariamente a la variable "par". Efectivamente, 5 también divide a una de las variables. Sólo sé que es á  \( x\,\vee\,y \) ,  no puede ser á  \( z \) .  Pero no sé más. Perdí en su día un poco el interés por estos temas al darme cuenta, como dije en una respuesta anterior, que estas no son cuestiones muy relevantes a la hora de encontrar "contradicciones" en este tipo de ecuaciones. Por ejemplo, supón que logro averiguar que 811 divide á  \( z \)  y sólo á  \( z \) .  Sería un hallazgo bastante asombroso. Pero eso no me va a llevar a ningún tipo de contradicción. Que es lo ando buscando.

Un saludo,
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25 Noviembre, 2018, 11:01 am
Respuesta #16

feriva

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Hola feriva. Sí, me refería al caso n = 4. Me ha parecido verte interés no sólo por el caso n = 2, sino por las cuestiones en general del UTF, cuyas soluciones son siempre en forma de ternas de números y entonces he querido compartir contigo -y con todo el que lo lea-, que en el caso del UTF4 no sólo 3 divide a una de las variables, sino que lo hace necesariamente a la variable "par". Efectivamente, 5 también divide a una de las variables. Sólo sé que es á  \( x\,\vee\,y \) ,  no puede ser á  \( z \) .  Pero no sé más. Perdí en su día un poco el interés por estos temas al darme cuenta, como dije en una respuesta anterior, que estas no son cuestiones muy relevantes a la hora de encontrar "contradicciones" en este tipo de ecuaciones. Por ejemplo, supón que logro averiguar que 811 divide á  \( z \)  y sólo á  \( z \) .  Sería un hallazgo bastante asombroso. Pero eso no me va a llevar a ningún tipo de contradicción. Que es lo ando buscando.

Un saludo,


Hola, Fernando.

Es difícil, pero, en teoría, sí se podría llegar a una contradicción. Si se tiene que uno de los elementos de la terna es múltiplo de un cierto número y se quiere usar ese argumento, el ataque ha de consistir en encontrar que alguno de los otros elementos de la terna también tenga que ser múltiplo del mismo número; con lo que la terna no podría ser primitiva y ya estaría demostrado.

Esta demostración (si se consiguiera) se basaría esencialmente en lo mismo que la de descenso al infinito. Es como cuando se demuestra que raíz de 2 es irracional, se está demostrando que siempre hay un factor común para el numerador y el denominador, lo que implica que no se reduce nunca el quebrado. En este caso (demostrando que hay dos múltiplos de “p”) el mcd nunca sería 1, podríamos dividir a ambos lados la igualdad por “p” y tener otra igualdad equivalente con números más pequeños, y si se repite el proceso suponiendo eso, podríamos dividir otra vez más... Porque ése es el argumento completo para asegurar la prueba; no pasaría nada si no fuera primitiva y después, dividiendo, se llegara a una primitiva en número finito de pasos. Luego demostrarlo así sería el mismo perro con otro collar (pero no pasa nada, es el argumento básico que hay que usar siempre para demostrar esto).

También se puede enfocar de otra manera, podemos suponer una tripleta de naturales (x,y,z) en la que “x” es el menor par posible para la supuesta iguald, por ejemplo; así parece que se “evita” el descenso y no causa tanta angustia.

...

He intentado demostrar eso que dices y no puedo; para ello, precisamente, he repasado a fondo la prueba clásica de n=4 y he ido suponiendo que el impar pueda ser múltiplo de 3 sin llegar a contradicción:

Spoiler

Empezamos suponiendo

\( (x^{2})^{2}+(y^{2})^{2}=(z^{2})^{2}
  \)

Donde vamos a considerar que, en caso de existir varias igualdades que cumplan esto, ésta se corresponde con la tripleta de naturales “x,y,z” que tiene el par “x” más pequeño posible (o con una de las tripletas, pues en principio podría haber varias con un mismo “x” que es el más pequeño). Análogomente también se podría considerar que “y” es el impar más pequeño posible.

...

Deben existir coprimos a,b, como es sabido, tales que

*\( x^{2}=2ab
  \)

\( (y^{2})=a^{2}-b^{2}
  \)

\( (z^{2})=a^{2}+b^{2}
  \)

Despejando en la segunda

\( (y^{2})+b^{2}=a^{2}
  \)

o sea

\( y^{2}+b^{2}=a^{2}
  \)

Análogamente existen (o deberían existir) coprimos “c,e” tales que

\( y=c^{2}-e^{2}
  \)

\( b=2ce
  \)

\( a=c^{2}+e^{2}
  \)

Sustituyendo en la ecuación del asterisco por estas expresiones

\( x^{2}=2ab=2(c^{2}+e^{2})\cdot2ce
  \)

o sea

\( x^{2}=(c^{2}+e^{2})\cdot2^{2}ce
  \)

Como e,c son coprimos, lo es la suma de sus cuadrados, o sea, el valor es coprimo con ellos mismos (si no, tendrían un factor común “c” y “e”).

Además, como en la pareja “c,e” uno es par y otro impar (por ser “y” e “a” impares) entonces \( (c^{2}+e^{2})
  \) es impar, y, por tanto, coprimo con el otro factor, con \( 2^{2}ce
  \).

Así, al ser el producto de los dos factores de un cuadrado (el cuadrado \( x^{2}
  \)) y al no tener factores comunes, cada factor es también un cuadrado.

Por tanto dividiendo por \( 2^{2}ce
  \)

\( \dfrac{x^{2}}{2^{2}ce}=(c^{2}+e^{2})=k^{2}
  \)

Del mismo modo, en este cuadrado, \( 2^{2}ce
  \) el 2 ya está al cuadrado; luego el par “c” (vamos a poner que sea “c” el par) tendrá que ser múltiplo de \( 2^{2n}
  \) también para que no quede coja la paridad de la potencia.

Como el resto de los factores en “c” y en “e” son coprimos, también habrán de ser cuadrados perfectos los números “c” y “e”.

O sea, podemos hacer \( c^{2}=u^{4}
  \) y \( c^{2}=v^{4}
  \).

Entonces

\( u^{4}+v^{4}=k^{2}
  \)

Con esta útlima igualdad, podemos repetir exactamente las mismas operaciones que con éstas

\( (x^{2})^{2}+(y^{2})^{2}=(z^{2})^{2}\Rightarrow
  \)

dado que no hemos usado la potencia cuarta de “z”, nos ha bastado con el cuadrado de \( (z^{2})
  \), es decir, para las operaciones podemos hacer “equivaler” \( (z^{2})
  \) a “k” y repetir todo.

Al hacer eso, al final del desarrollo resultará análogamente que “k” es un cuadrado, con lo que \( u^{4}+v^{4}
  \) será igual una cuarta potencia.

Esto implica que exista una tripleta con un par menor que “x” o un impar menor que “y” (“u” o “v”, según se haya ido considerando) llegando así al absurdo, porque sólo existen unos que son los más pequeños.

...

...

Ahora, si considero que “y” es múltiplo de 3 y voy siguiendo en los pasos lo que va pasando, no veo por qué no puede serlo; (es posible que me pierda por ahí con tanta letra dado mi despiste).

[cerrar]

Saludos.

25 Noviembre, 2018, 12:59 pm
Respuesta #17

Fernando Moreno

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Hola feriva. No veo lo que dices. Supongo que es cuestión de opiniones. Efectivamente, si 3 divide al término "par" y encuentro más adelante que 3 divide a otra de las variables, llego a una contradicción. Pero eso no va a darse, porque eso significaría que las tres variables no son coprimas y que no son coprimas por existir entre ellas una relación lineal del tipo:  \( Z=X+Y \) .  No, de ahí no se deduce que no puedan ser coprimas y por tanto si descubro que " 7 ", por ejemplo, divide á " z ", no voy a encontrar que " 7 " divida á " x " .  De todas formas ahí lo dejo; el hecho es que 3 divide a la variable "par", por si alguien quiere sacarle partido o simplemente entretenerse. A mí ya me queda muy poco para dejar de intentar buscar contradicciones al margen del descenso infinito en el caso n = 4 del UTF. Esto es como todo, hasta que no intentas todo lo para ti posible, no lo dejas.

Un saludo,

(He leído (rápidamente) tu demostración del UTF4 que pones en el Spoiler y me ha parecido correcta)
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25 Noviembre, 2018, 02:56 pm
Respuesta #18

feriva

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Hola feriva. No veo lo que dices. Supongo que es cuestión de opiniones. Efectivamente, si 3 divide al término "par" y encuentro más adelante que 3 divide a otra de las variables, llego a una contradicción. Pero eso no va a darse, porque eso significaría que las tres variables no son coprimas y que no son coprimas por existir entre ellas una relación lineal del tipo:  \( Z=X+Y \) .  No, de ahí no se deduce que no puedan ser coprimas y por tanto si descubro que " 7 ", por ejemplo, divide á " z ", no voy a encontrar que " 7 " divida á " x " . 

Pero ten en cuenta que realmente no existen enteros y, al final, tienen que cantar los irracionales; así que a lo mejor no es imposible que se pueda encontrar una demostración de ese estilo. Los irracionales son “divisibles” por cualquier cosa, nunca son “coprimos”.


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(He leído (rápidamente) tu demostración del UTF4 que pones en el Spoiler y me ha parecido correcta)

Claro, como que no es mía :D


Saludos.

25 Noviembre, 2018, 05:52 pm
Respuesta #19

Fernando Moreno

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Hola,

Pero ten en cuenta que realmente no existen enteros y, al final, tienen que cantar los irracionales; así que a lo mejor no es imposible que se pueda encontrar una demostración de ese estilo. Los irracionales son “divisibles” por cualquier cosa, nunca son “coprimos”.

Te saco de tu error. Nos ponemos en  \( \mathbb{Z[\sqrt{-2}]} \)  (Que es un anillo de factorización única y con unidades iguales a las de  \( \mathbb{Z} \)) .  Si:  \( z^2=y^2+2q^2 \) ;  entonces:  \( z=(y+\sqrt{-2}q)\,(y-\sqrt{-2}q) \) .  Y :  " \( y+\sqrt{-2}q \) "   \( \wedge \)   " \( y-\sqrt{-2}q \) "  son coprimos.   


(He leído (rápidamente) tu demostración del UTF4 que pones en el Spoiler y me ha parecido correcta)


Claro, como que no es mía :D

Yo he hecho demostraciones idénticas, no sé si te refieres a eso.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr