Hola
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Probar que para cada \( N\in \mathbb{N} \), existe una constante \( C_N \in \mathbb{R}^+ \) verificando que si \( P \) es un polinomio de grado \( N \) con coeficientes complejos, se tiene que:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^N{|P(k)|}\leq{}C_N \cdot{} \displaystyle\int_{0}^{1}|P(t)|dt \)
Una idea. Sea \( p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_Nx^n \). Sea \( |a_i| \) el mayor coeficiente en valor absoluto.
Dividiendo ambos términos por \( |a_i| \) podemos reducir el problema a probar la existencia de la constante para polinomios de grado \( N \) con algún coeficiente de módulo \( 1 \) y todos los demás de módulo menor o igual que \( 1 \).
O dicho de otra manera si en el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que \( N \) consideramos la norma:
\( \|a_0+a_1x+\ldots+a_Nx^n\|_{max}=max\{|a_0|,|a_1|,\ldots,|a_N|\} \)
Podemos reducir el problema a trabajar con polinomios con \( \|p(x)\|_{max}=1. \)
En ese caso se tiene:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^N|P(k)|\leq \displaystyle\sum_{k=0}^N(1+k+\ldots+k^N)=CTE \)
Por tanto el problema se reduce a probar que:
\( inf\left\{\left.\displaystyle\int_{0}^{1}|P(t)|dt\right|\|P(x)\|_{max}=1\right\}>0 \)
Ahora si llamamos \( \mathcal{P}_N(\mathbb{C}) \) al espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que \( N \) con la norma \( \|P(x)\|_{max} \) se tiene que la función:
\( \phi:\mathcal{P}_N(\mathbb{C})\to \mathbb{R},\qquad \phi(p(x))=\displaystyle\int_{0}^{1}|P(t)|dt \)
es continua.
El conjunto \( \{p(x)\in \mathcal{P}_N(\mathbb{C})|\|p(x)\|_{max}=1\} \) es compacto por ser cerrado y acotado en un espacio vectorial normado de dimensión finita. Por la función \( \phi \) sobre ese compacto alcanza el máximo y el mínimo.
Pero el mínimo no puede ser cero, porque si \( \displaystyle\int_{0}^{1}|P(t)|dt=0 \) sólo para el polinomio cero y este no tiene norma del máximo \( 1 \).
Saludos.
