[leo-carrizo]

Hola, tengo un problema para resolver una integral con el objetivo de verificar el teorema de Cauchy Goursat:
Para la función \( f(z)= 3z^2+iz-4 \), verifique el teorema de Cauchy Goursat, si \( C \) es la curva dada por: \( \left |{z}\right |=1 \).
pude realizar lo siguiente;\( r=1; z=re^{iθ}=e^{iθ}; z'(θ)=ie^{iθ}; \displaystyle\int_{0}^{2π}(3z^2+iz-4)ie^{iθ}dθ=\displaystyle\int_{0}^{2π}(3e^{2iθ}+ie^{iθ}-4)ie^{iθ}dθ=\displaystyle\int_{0}^{2π}(3ie^{3iθ}-e^{2iθ}-4ie^{iθ})dθ=(e^{3iθ}-\displaystyle\frac{e^{2iθ}}{2i}-4e^{iθ})|_0^{2π} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, tengo un problema para resolver una integral con el objetivo verificar el teorema de Cauchy Goursat:
Para la función \( f(z)= 3z^2+iz-4 \), verifique el teorema de Cauchy Goursat, si \( C \) es la curva dada por: \( \left |{z}\right |=1 \).
pude realizar lo siguiente;\( r=1; z=re^{iθ}=e^{iθ}; z'(θ)=ie^{iθ}; \displaystyle\int_{0}^{2π}(3z^2+iz-4)ie^{iθ}dθ=\displaystyle\int_{0}^{2π}(3e^{2iθ}+ie^{iθ};-4)ie^{iθ}dθ=\displaystyle\int_{0}^{2π}(3ie^{3iθ}-e^{2iθ}-4ie^{iθ})dθ=(e^{3iθ}-\displaystyle\frac{e^{2iθ}}{2i}-4e^{iθ})|_0^{2π} \)

 ¿Y cuál es la duda? Ya casi lo tienes: al evaluar en \( \theta=2\pi \) y \( \theta=0 \) te da lo mismo y el resultado es cero.

Saludos.

[lautypc]

Hola y bien venido
si tu problema tiene que ver en como trabajar con la exprecion "e", tienes que hacer lo siguiente:
\( (e^{6iπ}-\displaystyle\frac{e^{4iπ}}{2i}-4e^{2iπ})-(e^0-\displaystyle\frac{e^0}{2i}-4e^0)=\\=(cos(6π)+isen(6π)-\displaystyle\frac{1}{2i}(cos(4π)+isen(4π))-4(cos(2π)+isen(2π))-(1-\displaystyle\frac{1}{2i}-4)=\\=1-\displaystyle\frac{1}{2i}-4-1+\displaystyle\frac{1}{2i}+4=0 \)


Entonces se te verifica el Teorema de Cauchy Goursat

Saludos