[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con esta demostración

Demostrar que para un triángulo \( \triangle ABC \) arbitrario se cumple:

\( \displaystyle\frac{a-b}{c} = \displaystyle\frac{sin(\displaystyle\frac{1}{2}(A-B))}{cos(\displaystyle\frac{C}{2})} \)

He intentado aplicar el teorema del seno para encontrar los valores de \( a  \) y \( b \) y luego hacer la diferencia pero no llego a nada


De antemano gracias

[delmar]

Hola

Adjunto una imagen :



Con centro en C y con radio b, se traza un arco de circunferencia, que intersecta al segmento CB en T, se tiene que CT=b y TB=a-b. Considerando al triángulo ATB, se aplica la Ley de los senos :

\( \displaystyle\frac{a-b}{sen \ \alpha}=\displaystyle\frac{c}{sen \ \lambda} \) Ec. 1

\( \alpha=A-x, \ \ \lambda=180-x \)

Pero \( 2x+C=180\Rightarrow{x=90-\displaystyle\frac{C}{2}} \)

Por lo tanto :

\( \lambda=90+\displaystyle\frac{C}{2} \)

\( \alpha=A-(90-\displaystyle\frac{C}{2})=A-(90-\displaystyle\frac{180-A-B}{2})=\displaystyle\frac{A-B}{2} \)

Sustituyendo \( \alpha, \ \lambda \) en la Ec. 1 se obtiene la expresión a demostrar.

Saludos

[cristianoceli]

Hola

Adjunto una imagen :



Con centro en C y con radio b, se traza un arco de circunferencia, que intersecta al segmento CB en T, se tiene que CT=b y TB=a-b. Considerando al triángulo ATB, se aplica la Ley de los senos :

\( \displaystyle\frac{a-b}{sen \ \alpha}=\displaystyle\frac{c}{sen \ \lambda} \) Ec. 1

\( \alpha=A-x, \ \ \lambda=180-x \)

Pero \( 2x+C=180\Rightarrow{x=90-\displaystyle\frac{C}{2}} \)

Por lo tanto :

\( \lambda=90+\displaystyle\frac{C}{2} \)

\( \alpha=A-(90-\displaystyle\frac{C}{2})=A-(90-\displaystyle\frac{180-A-B}{2})=\displaystyle\frac{A-B}{2} \)

Sustituyendo \( \alpha, \ \lambda \) en la Ec. 1 se obtiene la expresión a demostrar.

Saludos

Muchas gracias jamás se me hubiera ocurrido.


Saludos