[Masacroso]

He descubierto un tema que me ha parecido curioso y sumamente interesante, debido a su potencial uso práctico, y es el desarrollo de una teoría de sumas fraccionales.

Una suma fraccional es una generalización del operador \( \sum \) para índices complejos, es decir, se trata de extender la definición de \( \sum_{k=a}^b g(k) \) al mayor subconjunto posible de \( \Bbb C \), es decir, donde \( a \) y \( b \) son complejos.

Por supuesto muchas generalizaciones son posibles, pero si añadimos las restricciones siguientes

\( \displaystyle{\begin{align*}&1.\quad \sum_{k=x}^y g(k)=\sum_{k=0}^y g(k)-\sum_{k=0}^{x-1} g(k)\\
&2.\quad\sum_{k=x}^x g(k)=g(x)\\&3.\quad \sum_{k=x}^y g(k)=\sum_{k=x+w}^{y+w} g(k-w)\end{align*}} \)

entonces, la generalización posible, es única (si \( g \) es analítica en el origen). No sólo eso: dentro de estas teorías (hay varias muy similares, unas más generales que otras) es muy fácil derivar e integrar respecto del índice, y tendríamos que

\( \displaystyle {\frac{d}{dn}\sum_{k=0}^n g(k)=\sum_{k=0}^n g'(k)+c'\\\int^x\sum_{k=0}^{n-1} g(k)\, dn=\sum_{k=0}^{x-1}\int^k g(t)\, dt+c_1 n+c_2} \)

donde \( c_2 \) es la constante de integración (arbitraria) y \( c_1=-\frac{d}{dn}\sum_{k=0}^{n-1}\int^k g(t)\, dt\Big|_{n=0} \) y \( c' \) también es una constante (no arbitraria). Lo curioso es que se puede derivar e integrar sin necesidad de conocer la función (analítica) que se define por la generalización de \( f(n):=\sum_{k=0}^{n-1}g(k) \).

Por ejemplo, la función gamma, la función zeta de Riemann, y muchas otras funciones especiales son generalizaciones de esta forma, aunque no fueran creadas así. Esto permite hallar valores, identidades o estudiar convergencia asintótica y mil cosas más de manera mucho más sencilla que por métodos clásicos.

Incluso generaliza muchas fórmulas conocidas del análisis y el cálculo como la regla de la cadena o la fórmula de la suma de Euler y MacLaurin. Dejo la bibliografía relevante por si alguien tiene curiosidad:

https://arxiv.org/abs/math/0502109
https://arxiv.org/abs/1001.4695
https://arxiv.org/abs/1209.5739
https://www.springer.com/gp/book/9783319746470

[manooooh]

¡Qué interesante, gracias por compartirlo!

¿Acaso las tres restricciones no serán muy restrictivas? ¿O abre paso para desarrollar esa teoría aun más?

Saludos

[Masacroso]

¡Qué interesante, gracias por compartirlo!

¿Acaso las tres restricciones no serán muy restrictivas? ¿O abre paso para desarrollar esa teoría aun más?

Saludos

Las restricciones están para conservar las propiedades algebraicas de un sumatorio normal, por eso están ahí. De otra manera perdería un poco el sentido el generalizar la sumatoria a índices complejos.

Un ejemplo:

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{-2}\frac1{k+2}=\sum_{k=0}^0\frac1{k+2}-\sum_{k=-1}^0\frac1{k+2}=\frac12-\sum_{k=0}^1\frac1{k+1}=\frac12-1-\frac12=-1 \)

usando las propiedades antes mencionadas. El resultado parece chocante, pero sin embargo es totalmente consistente con la teoría de Alabdulmohsin (uno de los autores de las fuentes citadas), por ejemplo si definimos \( f(x)=\log(x+1)!=\sum_{k=0}^{x-1}\log(k+2) \) entonces tenemos que \( f'(x)=\sum_{k=0}^{x-1}\frac1{k+2}+c \), donde

\( \displaystyle c=f'(x)-\sum_{k=0}^{x-1}\frac1{k+2}=\lim_{x\to\infty}\left(f'(x)-\sum_{k=0}^{x-1}\frac1{k+2}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\log(x+1)-\sum_{k=0}^{x-1}\frac1{k+2}\right)=1-\gamma \)

(\( \gamma \) es la constante de Euler-Mascheroni) ya que se puede demostrar que \( f'\sim_\infty \log(x+1) \). Entonces \( f' \) representa una traslación en el plano de la función digamma, y por tanto \( f'(-1)=\psi(1)=-\gamma \).

Es muy curioso, estoy echando un vistazo sobre todo a la teoría de Abdul (o como se diga), y extiende estas nociones a técnicas de sumación de series divergentes, técnicas que son consistentes con la aritmética, así que se puede hallar el valor de una serie convergente hallando el valor de una combinación lineal de series divergentes.