Hola
Hay dos formas de resolverlo (podrían haber más, no lo sé).
1. Directamente. Observá que \( f:D_f\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=\log(x) \) sólo está definida para los \( x>0 \), por lo que \( D_f=(0,+\infty) \).
En nuestro caso, la \( x \) pasa a ser \( x^2+4x+4 \), que a su vez (y esto es muy importante), \( x^2+4x+4=(x+2)^2 \). Para encontrar el dominio debés resolver la inecuación \[(x+2)^2>0,\] ¿sabés cómo concluir?
2. A través de la función inversa. Consideremos \( f:D_f\to\operatorname{Im}_f\mid f(x)=\log(x^2+4x+4)=\log(x+2)^2 \). Por una conocida propiedad, si la inversa existe, se define como \( f^{-1}:\operatorname{Im}_f\to D_f\mid f^{-1}(x)=\text{algo} \).
¿Quién es este \( \text{algo} \)? Pues hay que resolver \[y=\log(x+2)^2\implies x=\log(y+2)^2\implies x=2\log(y+2)\implies 10^{x/2}=y+2\implies f^{-1}:\operatorname{im}_f\to D_f\mid f^{-1}=10^{x/2}-2.\] Es decir, que si sabés trabajar con exponenciales, hallás la imagen de \( f^{-1} \) y directamente tenés el dominio de \( f \).
Saludos
EDIT. Con respecto al \( 2. \) hay conflicto porque la imagen sólo es un subconjunto de la función original, por lo que NO sirve; en este caso \( D_f\neq\operatorname{im}_{f^{-1}} \) ya que \( f \) NO es biyectiva.
