[carloscarloscarlos]

Para cada 3 valores enteros x,y,z, se considera la matriz \begin{bmatrix}{1}&{x}&{y}\\{0}&{1}&{z}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}

Sea A el conjunto de todas las matrices M(x,y,z) , halle el conjunto B de todas las matrices de A que conmutan con todas las matrices de este conjunto.


Solución: he multiplicado a derecha y izquierda por una matriz de tipo \begin{bmatrix}{1}&{a}&{b}\\{0}&{1}&{c}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}
igualo términos para calcular a, b, c y llego a una expresión de la forma cx=az, y no se continuar. Alguien me puede echar un cable?

[Fernando Revilla]

... llego a una expresión de la forma cx=az, y no se continuar. Alguien me puede echar un cable?

Es correcto. Dando los valores \( x=1,z=0 \) obtienes necesariamente \( c=0 \) y dando los valores \( x=0,z=1 \) obtienes necesariamente \( a=0 \). Verifica ahora que las matrices

          \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{b}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},\quad b\in \mathbb{Z} \)

satisfacen las relaciones requeridas.

[carloscarloscarlos]

... llego a una expresión de la forma cx=az, y no se continuar. Alguien me puede echar un cable?

Es correcto. Dando los valores \( x=1,z=0 \) obtienes necesariamente \( c=0 \) y dando los valores \( x=0,z=1 \) obtienes necesariamente \( a=0 \). Verifica ahora que las matrices

          \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{b}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},\quad b\in \mathbb{Z} \)

satisfacen las relaciones requeridas.

Porque esos valores y no otros?


¿cómo probaria que el conjunto de esas matrices obtenidas es isomorfo con el conjunto de los enteros Z?

[Fernando Revilla]

Porque esos valores y no otros?

Hemos demostrado que necesariamente \( a=c=0 \) y para cualquier \( b \) entero, es inmediado comprobar que cada matriz \( M(0,b,0) \) conmuta con todas las \( M(x,y,z). \)

¿cómo probaria que el conjunto de esas matrices obtenidas es isomorfo con el conjunto de los enteros Z?

Comprueba que \( M(0,b,0)\cdot M(0,b',0)=M(0,b+b',0) \). De aquí deduces que la aplicación biyectiva \( f\left(M(0,b,0)\right)=b \) es isomorfismo entre \( \left(\left\{{M(0,b,0}:b\in \mathbb{Z}\right\},\cdot\right) \) y \( (\mathbb{Z},+) \).