Hola! El enunciado escrito literalmente es:
Sea el haz de planos \[\alpha(x+y-3z+1)+(z+\lambda)=0.\] Halle los planos pertenecientes al haz que son perpendiculares a la recta determinada por los puntos \(A=(-1,0,4)\) y \(B=(1,2,3)\), sabiendo que la distancia del plano al origen de coordenadas es igual a \(3\).
Bueno bueno... ni mi profesor ni yo pudimos entender exactamente qué es lo que pide el ejercicio
. ¿Está bien redactado?
Lo que ocurre es que no hay dos parámetros que determinen el haz; parece que \( \alpha \) es uno pero el otro plano no tiene un parámetro multiplicado (el \( \lambda \) será una constante).
Traté de guiarme por esta
estupenda página pero no logro dar con una respuesta. ¿Hay algo de allí que nos sirva?
En principio hallamos la ecuación vectorial de la recta: \[\vec r\equiv(x,y,z)=(-1,0,4)+\sigma(2,2,-1),\quad\sigma\in\Bbb R\] y luego distribuimos en la ecuación del "haz de planos": \[\alpha x+\alpha y-3\alpha z+\alpha+z+\lambda=0\implies\alpha x+\alpha y+(-3\alpha+1)z+(\alpha+\lambda)=0.\] Luego \[\mathrm d(\vec0,\text¿X\text?)=\frac{|\alpha(0)+\alpha(0)+(-3\alpha+1)(0)+\alpha+\lambda|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=3\implies|\alpha+\lambda|=9,\] y aquí notamos que no se puede hacer nada más.
De ser correcto, ¿qué plano sería \( X \)? No logro darme cuenta.
¿Cómo se puede resolver?
Gracias!
Saludos
