[Adrianaprendiendo]

Buenas tardes queria preguntar acerca de estos ejercicios, en algunos no se por donde empezar y otros no puedo terminar de resolverlos

Demostrar que \( \sqrt[2]{5} \) es irracional

Demostrar Si x pertenece a R es irracional, entonces x + 1 es irracional.

Demostrar que si x pertenece a R es irracional, entonces x-1 y \( \displaystyle\frac{1}{x} \) son irracionales
En esta estoy realmente perdido

Hallar un numero irracional comprendido entre 2,236 y \( \sqrt[2]{5} \)

Se que para hallar un numero comprendido entre 2,236 y \( \sqrt[2]{5} \) utilizas \( \displaystyle\frac{a+b}{2} \) pero no se como haria para encontrar un irracional

No entiendo mucho asi que si me pudieran sugerir un libro o un pdf acerca de los racionales e irracionales me vendria bien, muchas gracias

[Juan Pablo Sancho]

Una demostración de que \( \sqrt{5} \) es irracional.
Sea \( \sqrt{5} \) racional entonces existen \( m,n \in \mathbb{N}  \) con \( mcd(m,n)=1 \) verificando:
\( \sqrt{5} = \dfrac{m}{n}  \) entonces \(  5 = \dfrac{m^2}{n^2}  \) queda \(  5 \cdot n^2 = m^2  \).
Por ser \( 5 \) primo entonces \( 5|m  \) entonces \(  m = 5 \cdot m'  \) y seguir para encontrar una contradicción con \( mcd(n,m)=1  \).

Tenemos que la suma o diferencia de racionales es racional, entonces si \( x \pm 1 = q \in \mathbb{Q}  \) entonces \( x \)....
Para \( \dfrac{1}{x}  \) lo  mismo.

Para encontrar un irracional entre \( 2.236 \) y \( \sqrt{5} \) sólo hay que usar lo  anterior con \( \dfrac{2.236+ \sqrt{5}}{2}  \).