[manooooh]

Hola!

Estaba mirando este excelente video (en inglés) que prueba que si \( \lambda \) es autovalor de una matriz \( A \) luego \( \lambda^2 \) es autovalor de \( A^2 \).

Mi pregunta es si esta prueba es válida considerando a \( A \) como matriz singular (o no). Recordemos que una matriz es singular cuando su determinante es nulo, y no lo es cuando su determinante es diferente de cero.

Es decir, ¿la prueba del video asume que la matriz \( A \) es singular o no?

En caso que asuma que es singular, ¿existe una prueba (similar) para probar o refutar con \( A \) no singular?

Gracias!
Saludos

[Fernando Revilla]

Hola! Estaba mirando este excelente video (en inglés) que prueba que si \( \lambda \) es autovalor de una matriz \( A \) luego \( \lambda^2 \) es autovalor de \( A^2 \). Mi pregunta es si esta prueba es válida considerando a \( A \) como matriz singular (o no). Recordemos que una matriz es singular cuando su determinante es nulo, y no lo es cuando su determinante es diferente de cero. Es decir, ¿la prueba del video asume que la matriz \( A \) es singular o no?

La demostración es válida para toda matriz \( A \). En Concepto de valor y vector propio (ejercicio 7) puedes ver una generalización:
     
Supongamos que \( x \) es un vector propio de un endomorfismo \( f:E\to E \), asociado a un valor propio \( \lambda \). Entonces, para todo entero \( n >0 \), \( x \) también es un vector propio de \( f^n \) correspondiente a \( \lambda^n \).

Como caso particular, toda matriz \( A\in \mathbb{K}^{n\times n} \) representa un endomorfismo \( A:\mathbb{K}^{n}\to \mathbb{K}^{n},\; x\to Ax \). Y más particular, si \( n=2 \). 

[manooooh]

¡Pero si es que tu página (fiel extracto de tu libro) lo contiene todo! Tonto de mí no haberme fijado primero (como suelo hacer) en el contenido de tu página.

Muchas gracias.
Saludos