[dario_oasis]

Dada la siguiente transformación lineal \( t:R^4\rightarrow{R^4} \)
     t=2 0 1 0
          0 1 0 2
          1 0 2 0
          0 2 0 1
con base B={(1,1,0,0)(0,1,1,0)(0,0,1,1)(1,0,0,-1)}

a)hallar t[c].
b)hallar la expresión cartesiana de t.
c)hallar un sistema de ecuaciones del Nu(t).
d)hallar la dimensión de Im(t).
e)decidir si t es una transformación diagonalizable.
f)calcular la distancia entre(-1,0,1,0) y la Im(t).


5) sea \( \theta, \) la simetría que intercambie los planos
\( p={(x,y,z}\in{R^3}:x+y-z=0 \)
\( q={x,y,z)\in{R^3}}:x-y+z=0 \)

[delmar]

Hola

Se tiene la matriz de la transformación respecto a la base B.

a)¿\( t[c] \)? No entiendo esta notación. Puede ser: 1) los transformados de los vectores canónicos respecto a la base B ó 2) respecto a la base canónica.

Para el caso 1) hay que hallar las componentes de los vectores canónicos respecto a B y luego hallar las componentes de sus transformados (utilizando la matriz) respecto a B.

Para el caso 2) Después de hacer el paso 1), hay que hallar las componentes de los transformados respecto a la base canónica, esto es sencillo (se conocen las componentes de los vectores de B respecto a la base canónica)

CASO 1. Para ejemplificar con el vector \( e_1=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{0} \\ {0}\end{array}\right] \) de la base canónica. Denominando \( \left[\begin{array}{ccc}{a}\\{b}\\{c} \\ {d}\end{array}\right] \) sus componentes respecto a la base B, se tiene :

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}& {1}\\{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{-1}\end{bmatrix} \ \left[\begin{array}{ccc}{a}\\{b}\\{c} \\ {d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{0} \\ {0}\end{array}\right] \)

Hallamos a,b,c,d,  luego hallamos las componentes de los transformados respecto a la base B denominando \( \left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3} \\ {x_4}\end{array}\right] \), dichas componentes,  se tiene :

\( \begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}& {0}\\{0}&{1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{2}&{0}\\ {0}&{2}&{0}&{1}\end{bmatrix} \ \left[\begin{array}{ccc}{a}\\{b}\\{c} \\ {d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3} \\ {x_4}\end{array}\right] \)

CASO 2.

Denominando \( y_1,y_2,y_3,y_4 \) las componentes del \( T(e_1) \) respecto a la base canónica se tiene :

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}& {1}\\{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{-1}\end{bmatrix} \ \left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3} \\ {x_4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{y_1}\\{y_2}\\{y_3} \\ {y_4}\end{array}\right] \)


Saludos

Nota: Tanto para el caso 1 como para el 2, el proceso se puede hacer en bloque es decir para todos los vectores canónicos.