Hola!
¿Verdadero o falso? \(x=62\) es una de las únicas \(6\) soluciones de \(72x\equiv54\pmod{126}\).
Falso. Mostraremos que la ecuación no tiene seis soluciones dentro de \(\Bbb Z_{126}\). Por una conocida propiedad, la cantidad de soluciones de la ecuación de congruencia viene dada por, como \(\gcd{\{72,126\}}=18\) y \(18\mid126\) ya que \(126=7\cdot18\), luego las soluciones principales son \(7\), y no \(6\).
¿Es correcto?
Gracias!
Saludos
Hola, manoooh.
Es falso porque tiene infinitas soluciones; son las soluciones de los puntos de una recta cuyas coordenadas son enteras: 72x-54=126y
Es solución eso sí; se tiene que \( mcd(72*62,54)=18 \), \( mcd(54,126)=18 \) y también \( mcd(72*62,126)=18 \).... todo tiene el mismo mcd.
Esto quiere decir que puedes dividir a ambos lados por el mismo número de tal forma que ninguno de los tres sumandos de aquí \( 72x-54-126y=0
\) quedarían no múltiplos de 18; los tres. Si uno de ellos lo fuera y los otros no, no tendría ninguna solución.
Lógicamente, si se pudiera dividir dos de ellos entre 18 y el otro no, ese otro daría un número no entero al dividirlo, cantidad que se sumaría a un entero, con lo cual la solución no sería entera.
Pero son infinitas dando cualquier entero a "k" aquí: x=7k+6; y=4k+3.
Saludos.
