[megasaw]

Saludos a todos, tengo este ejercicio el cual no sé ni por dónde empezar y espero que ustedes puedan ayudarme, dice así:
Sea \(  P_1 (x_1,y_1)  \), \(  P_2 (x_2,y_2) \), \(  P_3 (x_3,y_3) \) los vértices de un triángulo en el plano, demuestre que su área puede calcularse mediante la fórmula:

\(  A= \displaystyle\frac{1}{2} * det {\begin{bmatrix}{x_1}&{y_1}&{1}\\{x_2}&{y_2}&{1}\\{x_3}&{y_3}&{1}\end{bmatrix}}  \)

Espero puedan ayudarme y explicarme de la manera más entendible posible, gracias

[manooooh]

Hola

Sea \(  P_1 (x_1,y_1)  \), \(  P_2 (x_2,y_2) \), \(  P_3 (x_3,y_3) \) los vértices de un triángulo en el plano, demuestre que su área puede calcularse mediante la fórmula:

\(  A= \displaystyle\frac{1}{2} * det {\begin{bmatrix}{x_1}&{y_1}&{1}\\{x_2}&{y_2}&{1}\\{x_3}&{y_3}&{1}\end{bmatrix}}  \)

En realidad deberíamos tomar el módulo del determinante, puesto que un área siempre es positiva (y el determinante en algunos casos puede arrojar valores negativos).

Para una prueba (en inglés) mirá esta pregunta, hay varios acercamientos. Sino está esta otra prueba (en inglés) que me pareció mucho más sencilla que las otras.

Si tenés dudas plantealas y te ayudamos.

Saludos

[megasaw]

Hola

Sea \(  P_1 (x_1,y_1)  \), \(  P_2 (x_2,y_2) \), \(  P_3 (x_3,y_3) \) los vértices de un triángulo en el plano, demuestre que su área puede calcularse mediante la fórmula:

\(  A= \displaystyle\frac{1}{2} * det {\begin{bmatrix}{x_1}&{y_1}&{1}\\{x_2}&{y_2}&{1}\\{x_3}&{y_3}&{1}\end{bmatrix}}  \)

En realidad deberíamos tomar el módulo del determinante, puesto que un área siempre es positiva (y el determinante en algunos casos puede arrojar valores negativos).

Para una prueba (en inglés) mirá esta pregunta, hay varios acercamientos. Sino está esta otra prueba (en inglés) que me pareció mucho más sencilla que las otras.

Si tenés dudas plantealas y te ayudamos.

Saludos

En la parte final del segundo enlace, cómo llega a la conclusión de que esa diferencia de productos es igual al determinante de esa matriz?

[manooooh]

Hola

En la parte final del segundo enlace, cómo llega a la conclusión de que esa diferencia de productos es igual al determinante de esa matriz?

No entiendo muy bien la pregunta pero puedo contestarte esto:

Antes del último paso tenemos esta supuesta igualdad:

\[\frac12\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]=\dfrac12\det\begin{pmatrix}A&B&1\\C&D&1\\E&F&1\end{pmatrix}.\]

Desarrollemos la segunda expresión, utilizando la primera fila y sus subdeterminantes:

\[
\begin{array}{ll}
&\dfrac12\det\begin{pmatrix}A&B&1\\C&D&1\\E&F&1\end{pmatrix}\\
=&\dfrac12\left[A\det\begin{pmatrix}D&1\\F&1\end{pmatrix}-B\det\begin{pmatrix}C&1\\E&1\end{pmatrix}+1\det\begin{pmatrix}C&D\\E&F\end{pmatrix}\right]\\
=&\dfrac12\Bigl[A(D-F)-B(C-E)+(CF-ED)\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[AD-FA-BC+BE+CF-ED\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[AD+BE+CF-ED-FA-BC\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[-(-AD-BE-CF+ED+FA+BC)\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[-1\Bigr]\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]\\
=&-\dfrac12\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]\\
\end{array}
\]

que es lo que queríamos probar, salvo cambio de signo.

Saludos

[megasaw]

Hola

En la parte final del segundo enlace, cómo llega a la conclusión de que esa diferencia de productos es igual al determinante de esa matriz?

No entiendo muy bien la pregunta pero puedo contestarte esto:

Antes del último paso tenemos esta supuesta igualdad:

\[\frac12\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]=\dfrac12\det\begin{pmatrix}A&B&1\\C&D&1\\E&F&1\end{pmatrix}.\]

Desarrollemos la segunda expresión, utilizando la primera fila y sus subdeterminantes:

\[
\begin{array}{ll}
&\dfrac12\det\begin{pmatrix}A&B&1\\C&D&1\\E&F&1\end{pmatrix}\\
=&\dfrac12\left[A\det\begin{pmatrix}D&1\\F&1\end{pmatrix}-B\det\begin{pmatrix}C&1\\E&1\end{pmatrix}+1\det\begin{pmatrix}C&D\\E&F\end{pmatrix}\right]\\
=&\dfrac12\Bigl[A(D-F)-B(C-E)+(CF-ED)\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[AD-FA-BC+BE+CF-ED\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[AD+BE+CF-ED-FA-BC\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[-(-AD-BE-CF+ED+FA+BC)\Bigr]\\
=&\dfrac12\Bigl[-1\Bigr]\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]\\
=&-\dfrac12\Bigl[-AD-BE-CF+ED+FA+BC\Bigr]\\
\end{array}
\]

que es lo que queríamos probar, salvo cambio de signo.

Saludos

El hecho de que salga con signo contrario no influye?

[manooooh]

Hola

¿El hecho de que salga con signo contrario no influye?

Supongo que no. Es decir, si por un lado el área es positiva, con el cambio de signo del otro lado del igual resulta negativa. Por eso lo de tomar valor absoluto.

Saludos

[megasaw]

Hola

¿El hecho de que salga con signo contrario no influye?

Supongo que no. Es decir, si por un lado el área es positiva, con el cambio de signo del otro lado del igual resulta negativa. Por eso lo de tomar valor absoluto.

Saludos

Muchas gracias