[Sdc]

Buenas a todos.Estoy comenzando con la teoría de números y voy en el tema de numeros primos donde me he encontrado con la siguiente demostración:

P un numero primo

\( P\mid A^n\implies P\mid A \)

Se que la demostración no es realmente difícil sin embargo no he llegado a nada consistente y tengo dudas sobre si estoy tomando el camino correcto.
Al principio he concluido que\(  A^n \) es un número compuesto debido a que es divisible entre P (Un numero Primo).A partir de esto he intentado separar el siguiente paso en dos casos:
1.Cuando a es un numero primo
2.Cuando a es un numero compuesto

Sin conseguir realmente llegar ha algo consistente.Si alguien me pudiera decir mas o menos que pasos debo seguir o en que teorema me podria apoyar se los agradecería mucho

[Masacroso]

Buenas a todos.Estoy comenzando con la teoria de numeros y voy en el tema de numeros primos donde me he encontrado con la siguiente demostracion:

P un numero primo
\( P|A^n\longrightarrow{P|A} \)

Se que la demostracion no es realmente dificil sin embargo no he llegado a nada consistente y tengo dudas sobre si estoy tomando el camino correcto.
Al principio he concluido que\(  A^n \) es un numero compuesto debido a que es divisible entre P(Un numero Primo).A partir de esto he intentado separar el siguiente paso en dos casos:
1.Cuando a es un numero primo
2.Cuando a es un numero compuesto

Sin conseguir realmente llegar ha algo consistente.Si alguien me pudiera decir mas o menos que pasos debo seguir o en que teorema me podria apoyar se los agradeceria mucho

Utiliza el teorema fundamental de la aritmética, es decir, \( A=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_\ell^{m_\ell} \) para algunos primos \( p_1,\ldots,p_\ell \) distintos entre sí y multiplicidades \( m_1,\ldots,m_\ell\in\Bbb N_{\ge 1} \). De ahí se deduce que necesariamente \( P=p_j \) para algún \( j\in\{1,\ldots,\ell\} \), lo que implica el resultado buscado.

[feriva]

Hola, miara a ver si te vale esto.

Si \( P|A^{n}
  \), entonces existe “k” entero tal que \( AA^{n-1}=Pk
  \).

Como P es primo, “A” no divide a “P” salvo que A=P y n=1 (caso trivial); entonces, dejando ese caso aparte, divide a k, \( A^{n-1}=P\cdot\dfrac{k}{A}
  \), por lo que \( \dfrac{A^{n-1}}{P}
  \) es entero por la equivalencia, o sea, \( P|A^{n-1}
  \).

Y ahí se repite el proceso, pues análogamente significa que \( AA^{n-2}=Pk
  \). Y así sucesivamente hasta \( AA^{n-n}=Pk
  \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Prácticamente lo que dice feriva, pero basándose en la definición general de primo válida en un anillo cualquiera:

 \( P \) primo significa que si \( P \) divide a \( A\cdot B \) entonces \( P \) divide a \( A \) ó \( P \) divide a \( B \)

 Entonces si \( P \) primo divide a \( A^n=A^{n-1}\cdot A \) o bien \( P \) divide a \( A \) o bien \( P \) divide a \( A^{n-1} \) y así inductivamente se concluye que \( P \) divide a \( A \).

Saludos.