Hola
Pero si tu duda era si era suficiente añadir el "dibujito" "barra suma" al final del listado de clases y luego aun encima te resulta redundante que para comprobar si has escrito ese símbolo sabiendo lo que significa te proponga sumar unas clases, no sé que pensar. No identifico claramente que no entiendes.
Bien. No es que no entienda qué significa el más con rayita, sino que, de los pocos ejercicios que realicé, jamás había puesto (que recuerde) el par ordenado conjunto + operación para definir el grupo cociente.
Mi cabeza tenía grabado que grupo cociente = conjunto cociente, por lo que definir o no la operación era
totalmente superfluo.
¿Pero cómo es posible que entendieses entonces el enunciado y que llegases a escribir esto como parte de la respuesta:
Notemos que \(H=\langle12\rangle=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}\).
Dato de color (ustedes digan si vale la pena ponerlo o no). Notemos que \((\Bbb Z_{18},\overline+)\) es un grupo de orden finito, y además \(H\neq\emptyset\), \(H\subseteq\Bbb Z_{18}\) y \((H,\overline+/H)\) es grupo. Estamos en las condiciones del teorema de Lagrange, por lo que el orden de \(H\) divide al de \(\Bbb Z_{18}\). Como \(|H|=3\) y \(|\Bbb Z_{18}|=18\) luego habrán \(18/3=6\) elementos del grupo cociente. Hallémoslos.
¿"Adivinaste" qué significa grupo cociente?.
No recuerdo dónde busqué las hipótesis del teorema de Lagrange (¿de mis apuntes o del libro de la asignatura?
). Pero no sé a qué te referís con que yo haya "adivinado" que el Dato de color si allí
nunca se habla de la estructura del grupo cociente, sino de la cantidad de elementos del grupo cociente. Recordá que en mi cabeza valía "grupo cociente = conjunto cociente".
Por otro lado y como te he dicho antes si NUNCA te han hablado de lo que es un grupo cociente, no puedes inventar el concepto; lo primero que debes es de preguntar que se entiende por "grupo cociente".
A grandes rasgos (no he mirado ninguna definición para no hacer trampa),
¿podemos decir que el grupo cociente es una partición del conjunto original, que a su vez hereda las mismas propiedades estructurales del grupo (mismo conjunto pero particionado, y misma operación)? Es importante para mí que me corrijas cada palabra para así estar yo seguro.
Si, por lo que veo allí se prueban los detalles de como se define el grupo cociente. ¿Exactamente qué es lo que no entiendes?¿Qué relación dices no entender?.
No entiendo que probar que el grupo cociente cumple las propiedades de estar bien definida, interna, asociatividad, elemento neutro y simétrico
implica que herede la operación del grupo original.
P.D. Y otra cosa más; si te propusiste hacer ejercicio sin saber lo que es un grupo cociente, ¿es por qué estás estudiando por tu cuenta?. Si es así es una cosa buena, pero conviene que sigas un orden; lo razonable es estudiar primero la teoría necesaria para poder resolver un ejercicio. O en todo caso si uno se encuentra con un ejercicio que usa conceptos teóricos desconocidos, preguntar primero sobre ellos.
Mi ser no está para estudiar todo, me gustaría poder deducir las cosas, creo que así se trabaja más y mejor. De todas maneras, creo que se contesta por lo mismo de antes: en mi cabeza era "grupo cociente = conjunto cociente".
Para pasar en limpio, contestemos (sin isomorfismos de por medio) correctamente el apartado b) de un sólo tirón:
b) Considerando \((G,*)=(\Bbb Z_{18},\overline+)\), halle el grupo cociente por \(H=\langle\overline{12}\rangle\).Notemos que \(H=\langle\overline{12}\rangle=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}\).
Por enunciado el grupo es abeliano, así que no habrá distinción entre clases laterales a derecha ni a izquierda. Considerando esta última, tenemos
\[
\begin{gather*}
\overline0\overline+H=\{\overline0,\overline6,\overline{12}\}=\overline6\overline+H=\overline{12}\overline+H\\
\overline1\overline+H=\{\overline1,\overline7,\overline{13}\}=\overline7\overline+H=\overline{13}\overline+H\\
\overline2\overline+H=\{\overline2,\overline8,\overline{14}\}=\overline8\overline+H=\overline{14}\overline+H\\
\overline3\overline+H=\{\overline3,\overline9,\overline{15}\}=\overline9\overline+H=\overline{15}\overline+H\\
\overline4\overline+H=\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\}=\overline{10}\overline+H=\overline{16}\overline+H\\
\overline5\overline+H=\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}=\overline{11}\overline+H=\overline{17}\overline+H.
\end{gather*}
\]
Por tanto, el grupo cociente por \(H=\langle\overline{12}\rangle\) es \[(\Bbb Z_{18}/H,\overline+)=\left(\bigl\{\{\overline0,\overline6,\overline{12}\},\{\overline1,\overline7,\overline{13}\},\{\overline2,\overline8,\overline{14}\},\{\overline3,\overline9,\overline{15}\},\{\overline4,\overline{10},\overline{16}\},\{\overline5,\overline{11},\overline{17}\}\bigr\},\overline+\right).\]
¿Ahora está bien?
Saludos
