Las flechitas, como cualquier otra notación, son útiles o convenientes cuando aportan una información relevante, y dejan de serlo cuando no es así. En general, escribir \( \vec f: \mathbb R^n\longrightarrow \mathbb R^m \) o \( f: \mathbb R^n\longrightarrow \mathbb R^m \) aporta la misma información al lector, así que, ¿para qué gastar tiempo y tinta con flechitas?
A alguien que está empezando a estudiar espacios vectoriales le puede ayudar que le distingan notacionalmente los escalares de los vectores, pero, como apunta Fernando, en cuanto uno tiene un poco de práctica las flechitas se le vuelven superfluas.
Hay un contexto en el que me parece útil distinguir claramente lo que es un vector de lo que no lo es, porque a veces se trata de una diferencia muy sutil y a la vez muy importante. Me refiero al contexto de la geometría afín, donde es conveniente tener claro cuándo estamos hablando de puntos y cuándo de vectores. Y es especialmente importante la diferencia porque, en los espacios afines usuales, los puntos y los vectores son los mismos objetos, pero concebidos para ser empleados de forma distinta. El caso típico es tomar como puntos los elementos de \( \mathbb R^n \) y como vectores los elementos de \( \mathbb R^n \), pero, aun así, no es lo mismo un punto que un vector. La geometría afín permite sumar puntos con vectores y vectores con vectores, pero no puntos con puntos.
La idea es que los vectores representan traslaciones de punto a punto, y sumar un punto con un vector es aplicar al punto la traslación representada por el vector, mientras que sumar vectores es componer traslaciones.
Desde esa perspectiva, deberías reconsiderar que toda aplicación \( f:\mathbb R^n\longrightarrow \mathbb R^m \) es vectorial. Al contrario, en geometría afín una aplicación como la anterior es afín si es una aplicación entre puntos (no entre vectores) que puede expresarse, fijado un punto origen \( O \), como \( f(P)=f(O)+\vec f(\vec{OP}) \), donde \( \vec f \) es una cierta aplicación lineal entre vectores (y observa que ahí he repartido flechitas por ahí y por allá, pero no de forma arbitraria, sino que hay que ponerlas donde las he puesto y no hay que ponerlas donde no las he puesto).
Digo que en este contexto sí que me parece útil poner flechitas a las aplicaciones lineales entre vectores para distinguirlas de las aplicaciones entre puntos. Pero, desde esta perspectiva, en contra de lo que sugieres, las aplicaciones no lineales (ni cuadráticas, etc.) \( f:\mathbb R^n\longrightarrow \mathbb R^m \) son más bien aplicaciones entre espacios de puntos y no entre espacios vectoriales, y la flechita sería más bien desorientadora.
Por supuesto, en cuanto uno adquiere suficiente práctica con la geometría afín, de nuevo se encuentra con que las flechitas se le pueden volver innecesarias, por lo que estamos en lo mismo. Las flechitas son una mera cuestión de énfasis, que puede ser necesario o no.
