[manooooh]

Hola!

Me parece que este enunciado lo vi en algún lado pero no lo encuentro. ¡Si alguien lo encuentra bienvenido sea!


Dada la relación \( \mathcal S \) definida en \( \operatorname{dom}(f) \)

\( x\mathcal Sy\iff f(x)\leq f(y): \)

a) Demuestre que si \( f \) es cualquier función inyectiva, entonces \( S \) es de orden.
b) Considerando \( f(x)=1/x \) halle las cotas superiores de \( x=5 \).



a)

En primer lugar, que una función sea inyectiva implica que para todo \( x,y\in\operatorname{dom}(f) \) tenemos

\( f(x)=f(y)\implies x=y. \)

Probemos que \( \mathcal S \) es una relación de orden, o sea cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

En efecto, si \( x\in\operatorname{dom}(f) \) luego

\( f(x)\leq f(x)\implies x\mathcal Sx, \)

por tanto es reflexiva.

Si \( x,y\in\operatorname{dom}(f) \) luego

\( f(x)\leq f(y)\wedge f(y)\leq f(x)\implies f(x)=f(y)\underbrace{\implies}_{\text{Hipótesis}}x=y, \)

por tanto es antisimétrica.

Por último, si \( x,y,z\in\operatorname{dom}(f) \) tenemos

\( f(x)\leq f(y)\wedge f(y)\leq f(z)\underbrace{\implies}_{\text{Transitividad de }\leq}f(x)\leq f(z)\implies x\mathcal Sz, \)

luego es transitiva. Por tanto \( \mathcal S \) es de orden.


b)

Recordemos que \( (A,\preceq) \) ordenado y \( \emptyset\neq B\subseteq A \), \( k\in A \) es cota superior de \( B \) si y sólo si \( \forall x\in B:x\preceq k \).

En nuestro caso, \( (A,\preceq)=(\operatorname{dom}(f),\leq) \), \( B \) cualquier subconjunto no vacío de \( \operatorname{dom}(f) \) y \( k=5\in\operatorname{dom}(f) \).

De la definición tenemos que para todo \( x\in B:x\leq1/5 \) por tanto  \( \textrm{CS}=[1/5,+\infty) \).


¿Son correctas las definiciones y las implicaciones?

No estoy muy seguro del b) porque nunca hice mención de \( f(x) \). ¿Es un conjunto en sí mismo (el de todas las funciones de una variable real inyectivas)? ¿Sería \( A=\{\text{el conjunto de todas las funciones de una variable real inyectivas}\} \)?

EDIT. Seguro que está mal porque yo tomé \( k=5 \) cuando debe ser \( x=5 \), pero no puedo encajarlo bien porque la definición de cotas superiores dice \( \forall x \) (pero sólo hay un \( x \), el \( 5 \)) y no \( \forall k \).

¿Tenemos que definir por comprensión quién es \( B \) o está bien dejarlo expresado en forma genérica?

Gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La prueba de que es una relación de orden es correcta.

Recordemos que \( (A,\preceq) \) ordenado y \( \emptyset\neq B\subseteq A \), \( k\in A \) es cota superior de \( B \) si y sólo si \( \forall x\in B:x\preceq k \).

En nuestro caso, \( (A,\preceq)=(\operatorname{dom}(f),\leq) \), \( B \) cualquier subconjunto no vacío de \( \operatorname{dom}(f) \) y \( k=5\in\operatorname{dom}(f) \).

De la definición tenemos que para todo \( x\in B:x\leq1/5 \) por tanto  \( \textrm{CS}=[1/5,+\infty) \).

 El problema es que tu relación de orden en tu caso no es \( \leq \) sino \( S \), \( (\operatorname{dom}(f),S) \).

 Entonces las cotas superiores de \( 5 \) es el conjunto:

\(  \{y\in dom(f)|5Sy\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|f(5)\leq f(y)\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|1/5\leq 1/y\}=\\
=\{y\in (0,+\infty)|y\leq 5\}=(0,5\color{red}]\color{black} \)

Saludos.

CORREGIDO

[manooooh]

Hola, muchas gracias Luis:

El problema es que tu relación de orden en tu caso no es \( \leq \) sino \( S \), \( (\operatorname{dom}(f),S) \).

 Entonces las cotas superiores de \( 5 \) es el conjunto:

\(  \{y\in dom(f)|5Sy\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|f(5)\leq f(y)\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|1/5\leq 1/y\}=\\
=\{y\in (0,+\infty)|y\leq 5\}=(0,5) \)

¿Esa es la misma definición que mencioné de cotas superiores? ¿Quién es \( B \)? ¿Y \( A \)? ¿Y \( k \)? Si es posible, me gustaría resolverlo por esa definición (aunque la tuya sea más clara).

Saludos

P.D. Tu solución se parece mucho a la de una clase de equivalencia dado un elemento (o el conjunto cociente, algo así). ¿Tienen algo que ver?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Esa es la misma definición que mencioné de cotas superiores?

¡Claro!

¿Quién es \( B \)?

\( B \) es el conjunto al cual queremos hallar las cotas superiores. En este caso \( B=\{5\} \). Un sólo elemento.

¿Y \( A \)?

\( A=Dom(f)=\mathbb{R}-\{0\} \)

¿Y \( k \)?

Es lo que yo llamo \( y \); los candidatos a cotas superiores. Y por cierto erróneamente en tu desarrollo ponías \( k=5 \). Pero nosotros queremos hallar las cotas superiores de \( 5 \), no los elementos que están acotados superiormente por \( 5 \).

Si es posible, me gustaría resolverlo por esa definición (aunque la tuya sea más clara).

¡Es qué no he puesto ninguna definición distinta a la tuya! Simplemente cambié mínimanente alguna notación.  El concepto de cota superior es muy intuitivo: las cotas superiores de un conjunto son todos los elementos mayores o iguales (con la relación de orden con la que trabajemos) a todos los del conjunto.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Voy a digerirlo bien más tarde. Otra duda:

Entonces las cotas superiores de \( 5 \) es el conjunto:

\(  \{y\in dom(f)|5Sy\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|f(5)\leq f(y)\}=\{y\in \mathbb{R}-\{0\}|1/5\leq 1/y\}=\\
=\color{red}\{y\in (0,+\infty)|y\leq 5\}=(0,5) \)

¿Por qué restringís el conjunto de \( y \) (pasa de todos los reales menos el cero -que lo entiendo- al formado por solamente los positivos)? ¿Porque como forma una clase de equivalencia se debe tomar un representante? ¿También era válido tomar \( y\in(-\infty,0) \)? Yo creo que sí.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Por qué restringís el conjunto de \( y \) (pasa de todos los reales menos el cero -que lo entiendo- al formado por solamente los positivos)? ¿Porque como forma una clase de equivalencia se debe tomar un representante? ¿También era válido tomar \( y\in(-\infty,0) \)? Yo creo que sí.

No, no. Eso no tiene nada que ver con la relación. Estamos además con una relación de orden, no de equivalencia...¡no hay clases de equivalencia, ni representantes!.

Simplemente es al resolver la inecuación:

\( \dfrac{1}{5}\leq \dfrac{1}{y} \)

Una condición necesaria para que se cumpla es que \( y \) sea positivo (si y es negativo claramente no se da). Después multiplicamos por \( 5y>0 \) ambos términos y queda:

\( y\leq 5 \)

Saludos.

P.D. Tengo una errata. La solución es \( (0,5] \).

[manooooh]

Hola

Me gustaría graficar las cotas superiores cuando \( x=5 \), pero me está costando hacerlo:

¿Está bien que el eje horizontal sean las \( x \) y el vertical sea \( y \)? ¿Cómo se grafica el intervalo \( y\in(0,5] \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Que yo haya usado \( y \) para los candidatos a cotas superiores no tiene ninguna interpretación geométrica; no quiere decir que haya que representarlas en el eje \( Y \). Les podría haber llamado \( w,k,l,p,\alpha,\ldots \).

 Gráficamente podemos representar en el eje \( OX \) nuestro conjunto \( \mathbb{R}-\{0\} \) donde tenemos definido la relación de orden \( S \).

 Dados dos elementos \( x \) e \( y \) (en el gráfico por ejemplo \( x=5 \) y el punto móvil \( y \)) decidir si \( xSy \) equivale a comprobar si \( f(x)<f(y) \), de manera que hallamos sus imágenes por\(  f(x)=1/x \) y vemos cuál está más arriba.

 El intervalo \( (0,5] \) de cotas superiores es el que he marcado en verde; si mueves el punto rojo sobre él verás que sus imágenes están por encima de \( f(5)=1/5 \) y si te sales de él por debajo.


Saludos.