[Zeta]

Hola,

Sea \( l \) una recta de \( \mathbb{E}_2 \), \( P \) un punto de \( \mathbb{E}_2 \) que no está en \( l \) y sea \( k>0 \) tal que \( d(P,l)\neq k  \). Determinar el lugar geométrico \( L \) de puntos \( X\in \mathbb{E}_2 \) tales que \( d(X,P) + d(X,l) = k \).

Podemos tomar un referencial en el que \( l:= y=0 \), \( P(0,z) \) y \( X(x_o, y_o) \) entonces tenemos;

\( d(X,P) = \sqrt{x_o^2 + (y_o -z)^2} \) y \( d(X,l) = |x_o| \) y por lo tanto la suma de ambas distancias queda (tomando \( x_o>0 \));

\( \sqrt{x_o^2 + (y_o -z)^2} + x_o = k \rightarrow x_o^2 + (y_o -z)^2 = (k - x_o)^2  \rightarrow (y_o-z)^2 - k^2 + 2x_ok = 0  \) Y aquí es donde no consigo seguir. En principio no parece que el lugar geométrico que dice sea una cónica (ya que no es una ecuación de segundo grado en \( x_o, y_o \)), ¿pero cómo lo pruebo?.

Saludos.

[delmar]

Hola

Hay un error. Si la recta l es \( y=0 \), l es el eje X, en ese caso la distancia de un punto \( X(x_0,y_0) \) a la recta es : \( d(X,l)=\left |{y_0}\right | \), es decir no es lo que has considerado \( \left |{x_0}\right | \). Creo que puedes continuar.


Saludos

[Zeta]

Hola,

Ups 

Hay un error. Si la recta l es \( y=0 \), l es el eje X, en ese caso la distancia de un punto \( X(x_0,y_0) \) a la recta es : \( d(X,l)=\left |{y_0}\right | \), es decir no es lo que has considerado \( \left |{x_0}\right | \). Creo que puedes continuar.

De todas formas estaría en las mismas, se me iría el \( y_o^2 \) y tendría una expresión muy parecida.

Saludos

[delmar]

Precisando la expresión : \( \sqrt[ ]{x_0^2+(y_0-z)^2}+y_0=k\Rightarrow{x_0^2=2(z-k)[y_0-(\displaystyle\frac{k+z}{2}})] \)

Esta es una ecuación de la forma : \( (x_0-h)^2=4p(y_0-k) \) donde \( h=0,k=\displaystyle\frac{k+z}{2}, \ 4p=2(z-k) \)

¿Esta es la ecuación de una cónica?  Sí lo es, investiga un poco.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Gráficamente:


Saludos.

[Zeta]

Hola

Precisando la expresión : \( \sqrt[ ]{x_0^2+(y_0-z)^2}+y_0=k\Rightarrow{x_0^2=2(z-k)[y_0-(\displaystyle\frac{k+z}{2}})] \)

Esta es una ecuación de la forma : \( (x_0-h)^2=4p(y_0-k) \) donde \( h=0,k=\displaystyle\frac{k+z}{2}, \ 4p=2(z-k) \)

¿Esta es la ecuación de una cónica?  Sí lo es, investiga un poco.

La cuestión es que mi profesor me dijo que el lugar geométrico no daba una cónica. Que cuando llegase a la expresión dijera que no era una cónica y se acabó. Para fiarse...

Muchas gracias.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La cuestión es que mi profesor me dijo que el lugar geométrico no daba una cónica. Que cuando llegase a la expresión dijera que no era una cónica y se acabó. Para fiarse...

Muchas gracias.

Ojo, hay un matiz que tampoco he tenido en cuenta en el dibujo.

Al elevar al cuadrado la ecuación:

\( \sqrt{x^2+(y-z)^2}=k-y \) (*)

Previsiblemente metemos alguna solución falsa ya que:

\( a=b\quad \Rightarrow{}\quad a^2=b^2 \)

pero no al revés.

Entonces fíjate que para que (*) pueda verificarse tiene que cumplirse que [tex]k-y\geq 0[/tex]. Por tanto el lugar geométrico ciertamente no sería una cónica, sino un trozo de cónica que no es lo mismo.


Saludos.