[juansanro]

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente ejercicio:

Dado un subgrupo aditivo real \( G \)  cumpliendo que inf\( \left\{{g\in{G}:g>0}\right\}>0 \) probar que dicho ínfimo es un elemento de \( G \).

La idea que se me ocurre para resolver ele ejercicio es probar que \( G \) es cerrado bajo esas condiciones. Pero no logro probarlo.

Gracias de antemano. Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente ejercicio:

Dado un subgrupo aditivo real \( G \)  cumpliendo que inf\( \left\{{g\in{G}:g>0}\right\}>0 \) probar que dicho ínfimo es un elemento de \( G \).

La idea que se me ocurre para resolver ele ejercicio es probar que \( G \) es cerrado bajo esas condiciones. Pero no logro probarlo.

Gracias de antemano. Un saludo.

Sea \( a \) al ínfimo y supón que no está en \( G \) (por tanto es no nulo). Entonces comprueba por definición de ínfimo que existen \( x,y\in G \) con \( a<x<y<2a \). Pero entonces \( 0<y-x<a \) e \( y-x\in G \) (por ser subgrupo aditivo) contradiciendo que \( a \) sea el ínfimo.

Saludos.

[juansanro]

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente ejercicio:

Dado un subgrupo aditivo real \( G \)  cumpliendo que inf\( \left\{{g\in{G}:g>0}\right\}>0 \) probar que dicho ínfimo es un elemento de \( G \).

La idea que se me ocurre para resolver ele ejercicio es probar que \( G \) es cerrado bajo esas condiciones. Pero no logro probarlo.

Gracias de antemano. Un saludo.

Entonces comprueba por definición de ínfimo que existen \( x,y\in G \) con \( a<x<y<2a \).

Saludos.

Perdona, pero no me queda muy claro que pueda escoger \( x,y \) de esa forma, a lo más que llego es probar que existe \( x \) cumpliendo que \( a<x<2a \). No sé qué me estoy saltando.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Perdona, pero no me queda muy claro que pueda escoger \( x,y \) de esa forma, a lo más que llego es probar que existe \( x \) cumpliendo que \( a<x<2a \). No sé qué me estoy saltando.

Aplica otra vez la definición de ínfimo. Dado \( x>a \) tiene que existir \( y\in G \) tal que \( a\leq y<x<a \).

Como estamos suponiendo que \( a\not\in G \), se tiene la desigualdad estricta \( a<y \).

Saludos.