[anacress]

Sabemos que la identidad de polarizacion se escribe como
\( (x|y)=1/4*(||x+y||^2-||x-y||^2+i(||x+iy||^2-||x-iy||^2)) \)

Demostrar como consecuencia de lo anterior que

\( (f|g)=1/(2*pi)\displaystyle\int_{0}^{2*pi} f(x)\bar{g}(x) dx=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n) \bar{\hat{g}(n)}  \)
para cada \(  f,g\in{L2([0,2*pi])} \)

Me podeis ayudar a demostrar esa igualdad,gracias

[Masacroso]

Sabemos que la identidad de polarizacion se escribe como
\( (x|y)=1/4*(||x+y||^2-||x-y||^2+i(||x+iy||^2-||x-iy||^2)) \)

Demostrar como consecuencia de lo anterior que

\( (f|g)=1/(2*pi)\displaystyle\int_{0}^{2*pi} f(x)\bar{g}(x) dx=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n) \bar{\hat{g}(n)}  \)
para cada \(  f,g\in{L2([0,2*pi])} \)

Me podeis ayudar a demostrar esa igualdad,gracias

Ya te contesté aquí sobre eso:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=106631.msg420476#msg420476

La respuesta es (casi) inmediata manipulando las identidades dadas y utilizando las definiciones.

[Masacroso]

sigo sin acabar de entenderlo, no se como poner esa identidad en el integrando

Mira:

\( \displaystyle f(t)\bar g(t)=\frac14(|f(t)+g(t)|^2-|f(t)-g(t)|^2+i|f(t)+ig(t)|^2-|f(t)-ig(t)|^2)\tag1 \)

ya que \( x\bar y \) es el producto interior en \( \Bbb C \). De ahí obtenemos, utilizando el teorema de Parseval y la definición de \( \hat f_k \):

\( \displaystyle \int_0^{2\pi}f(t)\bar g(t)\, dt=\frac14\sum_{k=-\infty}^\infty\left(|(f+g| e^{ikt})|^2-|(f-g| e^{ikt})|^2+i|(f+ig| e^{ikt})|^2-i|(f-ig| e^{ikt})|^2\right)\tag2 \)

Arreglando el sumando, utilizando las propiedades del producto interior \( (\cdot|\cdot) \) obtienes el resultado que buscas.