[anacress]

(8) Probar que en todo espacio prehilbertiano se verifica la identidad de polarizacion, como consecuencia que

\( \displaystyle(f|g) = \frac1{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\overline{g(x)}dx = \displaystyle\sum_{n=-\infty }^{\infty} \hat{f}(n)  \overline{\hat{g}(n)} \)

para cada \( f,g \in L_2([0,2π]) \).

¿Me podéis ayudar a demostrar la consecuencia de este ejercicio?
Corregido desde la administración por cortesía de Masacroso.

[Masacroso]

(8) Probar que en todo espacio prehilbertiano se verifica la identidad de polarizacion, como consecuencia que

\( \displaystyle(f|g) = \frac1{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)g(x)dx = \displaystyle\sum_{n=-\infty }^{\infty} \hat{f}(n)  \overline{\hat{g}(n)} \)

para cada \( f,g \in L_2([0,2π]) \).

¿Me podéis ayudar a demostrar la consecuencia de este ejercicio?

¿Algo así es lo que querías escribir? ¿No debería ir \( g \) también conjugado dentro de la integral? Para que \( (f|g) \) sea un producto interior. ¿Y cuál es la identidad de polarización? Yo conozco la desigualdad de polarización (pero es otra cosa, aplicada a intersecciones de espacios \( L_p \)).

EDICIÓN: ok, creo que la identidad de polarización es lo mismo que la ley del paralelogramo.

[anacress]

si, debería ir g tambien conjugado dentro de la integral, muchas gracias.

[Masacroso]

si, debería ir g tambien conjugado dentro de la integral, muchas gracias.

La identidad del paralelogramo no depende del tipo de producto interior que sea, siempre se cumple en un espacio con producto interior. No sé si tendrá alguna diferencia considerar que el espacio es pre-hilbertiano, pero me parece que no.

Entiendo que te refieres a la siguiente identidad: \( \|f\|^2+\|g\|^2=\frac12(\|f-g\|^2+\|f+g\|^2) \). Es una identidad algebraica que se saca de la igualdad \( \|f\|^2=(f|f) \) y la manipulación de los productos internos, es decir, de sus características lineales. Por ejemplo:

\( \displaystyle \|f-g\|^2=(f-g|f-g)=(f|f-g)-(g|f-g)=(f|f)+(g|g)-(f|g)-(g|f)=\|f\|^2+\|g\|^2-2\Re((f|g)) \)

donde \( \Re \) significa "parte real de".

[anacress]

Me refiero a

\( (x|y)=\dfrac14(||x+y||^2-||x-y||^2+i*(||x+iy||^2-||x-iy||^2)) \)

Corregido desde la administración por cortesía de Masacroso.

[manooooh]

Hola a todos

Off-topic. anacress: te pido por favor que en lo sucesivo escribas todas las fórmulas matemáticas entre las etiquetas [tex][/tex] (y, en lo posible, editar tus mensajes agregándolas). Podés leer este tutorial muy completo donde se explican algunos comandos y otras cosas.

Saludos

[Masacroso]

me refiero a
\( (x|y)=\frac14(||x+y||^2-||x-y||^2+i*(||x+iy||^2-||x-iy||^2)) \)

Ajá. Es resultado de manipulaciones similares. Utilizando el ejemplo dejado arriba lo encuentras fácilmente. Dicho de otro modo, usando las siguientes propiedades del producto interno sale solo:

\( \displaystyle(f|kg)=\bar k(f|g),\quad (kf|g)=k(f|g),\quad (f+h|g)=(f|g)+(h|g),\quad (f|h+g)=(f|h)+(f|g),\quad(f|g)=\overline{(g|f)} \)

para cualquier \( k\in\Bbb C \).

P.D.: para que se vean tus fórmulas tienes que encerrar el texto en \( \LaTeX \) en las etiquetas

Código: [Seleccionar]

[tex] y

Código: [Seleccionar]

[/tex].

[anacress]

Vale , lo siento, lo haré 

[anacress]

Esa parte la tengo, lo que quiero hacer es demotrar que como consecuencia de esa identidad,
ocurre esto

\(  \displaystyle (f|g)=\frac 1{2\pi}\int_{0}^{2π}f(x)\overline{g}(x)dx=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \widehat{f}(n)*\overline{\widehat{g}}(n) \)
para cada f,g∈L2([0,2π]).   \( f,g\in L_2([0,2\pi]) \)

[Masacroso]

Esa parte la tengo, lo que quiero hacer es demotrar que como consecuencia de esa identidad,
ocurre esto

\(  (f|g)=1/2π\displaystyle\int_{0}^{2π}f(x)\bar{g(x)}dx=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f(n)}*\bar{\hat{g(n)}} \)
para cada f,g∈L2([0,2π]).

Pero eso no es lo que preguntabas originalmente, lo que preguntabas era como demostrar la identidad de polarización a partir de una definición de producto interior. Para demostrar la identidad

\( \displaystyle \int_0^{2\pi}f(t)\bar g(t)\,dt=\sum_{k=-\infty}^\infty\hat f_k\overline{\hat g_k} \)

necesitas conocer la identidad anterior (la identidad de polarización) y escribir \( f(t)\bar g(t) \) usando esa identidad en el integrando, y ver cómo te queda después, conociendo también el teorema de Parseval:

\( \displaystyle \|f\|^2=\sum_{k=-\infty}^\infty|\hat f_k|^2 \)

con \( \displaystyle \hat f_k:=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-ikt}\, dt=\frac1{2\pi}(f|e^{-ikt}) \).

P.D.: me parece que el producto interior no está bien, que yo sepa es \( (f|g)=\int_0^{2\pi} f(t)\bar g(t)\, dt \), es decir, sobra el factor \( 1/2\pi \). Aunque podría ser como tú dices, hay dos convenciones distintas respecto a los coeficientes de Fourier, dependiendo de si se mira desde un punto de vista clásico o moderno. Desde el clásico los coeficientes están definidos como he dicho antes.