[Asdfgh]

Buenas tardes, necesito ayuda con un apartado de un ejercicio que no sé resolver:

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) y cada \( t \in [0,1] \) se define:
\( g_n(t)=t^n-t^{2n} \)

Estudiar la convergencia de la sucesión en el espacio de Banach \( \mathbb{C}[0,1] \) y en el espacio de Banach \( L_p[0,1] \) con \( 1<p<\infty \)

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, necesito ayuda con un apartado de un ejercicio que no sé resolver:

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) y cada \( t \in [0,1] \) se define:
\( g_n(t)=t^n-t^{2n} \)

Estudiar la convergencia de la sucesión en el espacio de Banach \( \mathbb{C}[0,1] \) y en el espacio de Banach \( L_p[0,1] \) con \( 1<p<\infty \)

Gráficamente está es tu sucesión de funciones:


\( C[0,1] \) es el espacio de funciones continuas con la norma del máximo.

El límite puntual de la función es la función constante nula ya que para \( t\in [0,1] \):

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}g_n(t)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}t^n-t^{2n}=0 \)

Sin embargo no hay convergencia en \( C[0,1] \) ya que cada función \( g_n(t) \) tiene un máximo igual a \( 1/4 \) cuando \( t=\sqrt[n]{1/2} \).

Por otra parte si \( p>1 \):

\( \|g_n-0\|_p^p=\displaystyle\int_{0}^{1}(t^n(1-t^n)dt)^p<\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t^n)dt=\dfrac{n}{2n^2+3n+1}\to 0 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

[Asdfgh]

Hola

Buenas tardes, necesito ayuda con un apartado de un ejercicio que no sé resolver:

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) y cada \( t \in [0,1] \) se define:
\( g_n(t)=t^n-t^{2n} \)

Estudiar la convergencia de la sucesión en el espacio de Banach \( \mathbb{C}[0,1] \) y en el espacio de Banach \( L_p[0,1] \) con \( 1<p<\infty \)

Gráficamente está es tu sucesión de funciones:

Spoiler

[cerrar]

\( C[0,1] \) es el espacio de funciones continuas con la norma del máximo.

El límite puntual de la función es la función constante nula ya que para \( t\in [0,1] \):

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}g_n(t)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}t^n-t^{2n}=0 \)

Sin embargo no hay convergencia en \( C[0,1] \) ya que cada función \( g_n(t) \) tiene un máximo igual a \( 1/4 \) cuando \( t=\sqrt[n]{1/2} \).

Por otra parte si \( p>1 \):

\( \|g_n-0\|_p^p=\displaystyle\int_{0}^{1}(t^n(1-t^n)dt)^p<\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t^n)dt=\dfrac{n}{2n^2+3n+1}\to 0 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

Vale, entiendo la idea que hay que seguir, repasaré la convergencia uniforme que lo necesito. Gracias!

[Asdfgh]

Hola

Buenas tardes, necesito ayuda con un apartado de un ejercicio que no sé resolver:

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) y cada \( t \in [0,1] \) se define:
\( g_n(t)=t^n-t^{2n} \)

Estudiar la convergencia de la sucesión en el espacio de Banach \( \mathbb{C}[0,1] \) y en el espacio de Banach \( L_p[0,1] \) con \( 1<p<\infty \)

Gráficamente está es tu sucesión de funciones:

\( C[0,1] \) es el espacio de funciones continuas con la norma del máximo.

El límite puntual de la función es la función constante nula ya que para \( t\in [0,1] \):

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}g_n(t)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}t^n-t^{2n}=0 \)

Sin embargo no hay convergencia en \( C[0,1] \) ya que cada función \( g_n(t) \) tiene un máximo igual a \( 1/4 \) cuando \( t=\sqrt[n]{1/2} \).

Por otra parte si \( p>1 \):

\( \|g_n-0\|_p^p=\displaystyle\int_{0}^{1}(t^n(1-t^n)dt)^p<\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t^n)dt=\dfrac{n}{2n^2+3n+1}\to 0 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

Estoy teniendo problemas para probar lo mismo que me piden en este ejercicio pero esta vez para la función:

\( f_n=t^n-t^{n+1} \)

Alguna ayuda?

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy teniendo problemas para probar lo mismo que me piden en este ejercicio pero esta vez para la función:

\( f_n=t^n-t^{n+1} \)

El límite puntual vuelve a ser cero.

Analiza el máximo de las funciones en \( [0,1] \). Su derivada es:

\( f_n(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \)

Se anula en \( t_0=0 \) y \( t_1=\dfrac{n}{n+1} \); en este último se alcanza el máximo:

\( f_n(t_1=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n+1} \)

¿Conclusión?

Saludos.

[Asdfgh]

Hola

Buenas tardes, necesito ayuda con un apartado de un ejercicio que no sé resolver:

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) y cada \( t \in [0,1] \) se define:
\( g_n(t)=t^n-t^{2n} \)

Estudiar la convergencia de la sucesión en el espacio de Banach \( \mathbb{C}[0,1] \) y en el espacio de Banach \( L_p[0,1] \) con \( 1<p<\infty \)

Gráficamente está es tu sucesión de funciones:

\( C[0,1] \) es el espacio de funciones continuas con la norma del máximo.

El límite puntual de la función es la función constante nula ya que para \( t\in [0,1] \):

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}g_n(t)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}t^n-t^{2n}=0 \)

Sin embargo no hay convergencia en \( C[0,1] \) ya que cada función \( g_n(t) \) tiene un máximo igual a \( 1/4 \) cuando \( t=\sqrt[n]{1/2} \).

Por otra parte si \( p>1 \):

\( \|g_n-0\|_p^p=\displaystyle\int_{0}^{1}(t^n(1-t^n)dt)^p<\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t^n)dt=\dfrac{n}{2n^2+3n+1}\to 0 \)

¿Conclusión?.

Saludos.

Tengo una duda con respecto a este apartado, entiendo que este no converge a diferencia del otro ejemplo que te pregunté que si convergía en el espacio de Banach C[0,1], pero cual es la diferencia. Para que converja tiene que converger puntualmente y el máximo al mismo valor? En este caso, converge puntualmente a 0 y \( f(1/\sqrt[ n]{2})=1/4 \) y en el otro caso la convergencia puntual es nula y el límite de la función en el máximo es nulo también, esa es la justificación de que esa converja y la otra no? Qué resultado se aplica en ese caso?

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo una duda con respecto a este apartado, entiendo que este no converge a diferencia del otro ejemplo que te pregunté que si convergía en el espacio de Banach C[0,1], pero cual es la diferencia. Para que converja tiene que converger puntualmente y el máximo al mismo valor? En este caso, converge puntualmente a 0 y \( f(1/\sqrt[ n]{2})=1/4 \) y en el otro caso la convergencia puntual es nula y el límite de la función en el máximo es nulo también, esa es la justificación de que esa converja y la otra no? Qué resultado se aplica en ese caso?

Creo que estás confundiendo el límite puntual, que es una función, con el límite de la norma infinito, que es si existe un número.

Si tenemos la sucesión \( \{f_n\} \)  y queremos analizar su convergencia en \( C[0,1] \) con su norma del máximo, primero hallamos el límite puntual \( f \), que ojo, es una función:

\( f(x)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f_n(x) \) para cada \( x\in [0,1]. \)

En nuestros dos ejemplos ese límite puntual es la función constante cero; en este caso te da constante y eso te puede hacer confundirla con un número. Pero insisto no tendría porque ser consante: es una función.

Después para ver si hay convergencia en norma infinito tenemos que ver si la sucesión de normas diferencia entre las funicones y su límite puntual converge a (al número) cero, es decir, si:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\|f_n-f\|_\infty=0 \)

donde

\( \|f_n-f\|_\infty=max\{f_n(x)-f(x)|x\in [0,1]\} \)

Para la sucesión \( f_n(x)=x^n-x^{2n} \) se tenía que:

\( \|f_n-f\|_\infty=\|x^n-x^{2n}-0\|_{\infty}=\dfrac{1}{4} \) y por tanto la norma de esa diferencia NO converge a cero, luego la sucesión de funciones NO converge con la normal de máximo

Para la sucesión \( f_n(x)=x^n-x^{n+1} \) se tenía que:

\( \|f_n-f\|_\infty=\|x^n-x^{n+1}-0\|_{\infty}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n\cdot \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) y por tanto la norma de esa diferencia SI converge a cero, luego la sucesión de funciones SI converge con la normal de máximo.

Saludos.