[Quema]

Hola si tengo una variable aleatoria con media cero y función de densidad \( f \).
Si es simétrica entonces \( f(-x)=f(x) \), ahora si es sesgada hacia la derecha, entonces \( f(-x)\geq{}f(x) \)y sesgada hacia la izquierda al revés?

De no ser esto cierto, existe algún tipo de desigualdad con la función de distribución acumulada.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La dsitribución es sesgada a la derecha (resp. izquierda) si el signo de la siguiente expresión es positivo (resp. negativo).

 \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3f(x)dx \)

 Dicha expresión puede escribirse como:

\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3(f(x)-f(-x))dx \)

 De manera que si:

 \( f(x)-f(-x)\geq 0 \) para \( x\geq 0 \) entonces nos aseguramos que es positiva
 \( f(x)-f(-x)\leq 0 \) para \( x\geq 0 \) entonces nos aseguramos que es negativa

 Entonces podemos decir que:

 \( f(x)\geq f(-x)\mbox{ para }x\geq 0 \qquad \Rightarrow{} \) distribución sesgada a la derecha.

 \( f(x)\leq f(-x)\mbox{ para }x\geq 0 \qquad \Rightarrow{} \) distribución sesgada a la izquierda.

 El recíproco no tiene porque ser cierto.

 De todas formas tengo una pequeña duda sobre cual es la definición rigurosa que estás usando de distribución sesgada a la derecha (resp. a la izquierda).

Saludos.

[Quema]

Hola, dos dudas 

a) Si la moda (unimodal) está a la izquierda de la media y esta es cero (existe sesgo hacia la derecha), en ese caso si el recíproco sería cierto, no?
En todo caso, si esto está mal, que condición adicional debería agregar para que el recíproco sea cierto.

Además cuando hacés
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3(f(x)-f(-x))dx \)queda
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3f(x)dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3f(-x)dx \)Mi duda es el segundo término la parte de
\( f(-x) \)


b)en realidad me preguntaba, referido al tema

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=10619.msg44150;topicseen#new

si tengo dos variables aleatorias \( X,Y \)i.i.d y con distribución sesgada hacia la derecha (en lugar de simétrica) y media cero. Y sea \( u \)una función real convexa para valores negativos del argumento y cóncava para valores positivos del argumento.

Si \( u^{\prime}(-x)=u^{\prime}(x) \)(este supuesto creo que no es necesario)y \( u^{\prime\prime}(-x)=-u^{\prime\prime}(x) \)entonces \( Eu(aX+(1-a)Y)\geq{}Eu(X)=Eu(Y) \)

si se cumple que sesgada hacia la derecha si y solo si \( f(-x)\geq{}f(x) \)entonces la demostración sería similar a la del referido tema.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sigue sin quedarme claro que definición rigurosa (no se si la hay) estás usando de distribución sesgada. La idea intuitiva es que la probabilidad está desplazada a derecha o a izquierda respecto a la media.

 Por lo que he leído hay diversas medidas de centralización que dan una idea de este sesgo. La que yo he utilizado ahí es el momento central de tercer orden.

 a) Fíjate que la condición \( f(x)\geq f(-x) \) para \( x\geq 0 \) es muy fuerte. No puedes esperar que utilizando sólo medidas globales de la variable (media, mediana, moda, sesgo, momento central de orden 3) puedas deducir esa condición sobre la probabilidad en cada punto para todos los valores de \( x \).

 En cuanto a la integral fíjate que si en:

\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3f(-x)dx \)

haces el cambio de variable \( x=-t \) te queda:

\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3f(-x)dx=\displaystyle\int_{0}^{-\infty}t^3f(t)dt=-\displaystyle\int_{-\infty}^{0}t^3f(t)dt \)

 b) La condición \( u'(-x)=u'(x) \) implica que \( u''(-x)=-u''(x) \) simplemente derivando. Luego no entiendo bien lo que preguntas.

Saludos.

[Quema]

a) Pregunto si \( X,Y \)independientes con la misma distribución sesgada hacia la derecha (definida como, \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3f(x)dx\geq{}0 \)) y para una función \( u \)tal que \( u^{\prime}(-x)=u^{\prime}(x) \)entonces \( Eu(aX+(1-a)Y)\geq{}Eu(X)=Eu(Y) \)

Álgo parecido (con simetría en lugar de sesgo) lo habías demostrado en otro tema.