[Facufacufacufacu]

Hola gente, buenas tardes. Me darían una mano con este ejercicio? me pierdo al no tener una formula de la superficie.
Gracias,
saludos.

Resolver mediante integrales triples con ayuda de computadora
El sólido de la figura tiene la forma de un cilindro circular recto. La altura es h, el radio de la base es a, la masa total es M y la densidad es uniforme.
a) Determinar el volumen mediante una integral triple.
b) Obtener la expresión de la densidad en función de la masa y de las dimensiones.


 

[ingmarov]

Hola Facu, bienvenido

Estamos deseosos de ayudarte en todo lo que podamos, pero antes recuerda

...

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

...

Escribir el enunciado del problema no cuesta nada. Edita tu mensaje y escribe el texto directamente.

Lo que menos te sirve es ver como queda la integral, porque la copias y no sabes de dónde sale cada cosa, pero te la pongo dentro del spoiler. Lo ideal es que intentes algo y luego preguntes si está bien tu trabajo.

Spoiler

En coordenadas cilíndricas.

\( V=\displaystyle\int_{0}^{a}\int_{-h/2}^{h/2}\int_{0}^{2\pi}r\; d\varphi \; dz \; dr \)

[cerrar]

Saludos

[Facufacufacufacu]

Hola Ingmarov. Muchas gracias por avisarme, ya corregí el mensaje!
Gracias por darme una mano, voy a intentar resolverlo a partir de ahí

[ingmarov]

Hola Ingmarov. Muchas gracias por avisarme, ya corregí el mensaje!
Gracias por darme una mano, voy a intentar resolverlo a partir de ahí

Revisa esa integral y trata de entenderla. Resolverla es lo más sencillo.

[Facufacufacufacu]

Sisi muchas gracias, lo he entendido. Quisiera saber si estos puntos siguientes estan correctos:

El volumen con la integral triple me dio 2\( \pi \) har

b) Obtener la expresión de la densidad en función de la masa y de las dimensiones.

Sea M la masa total,entonces:
                                                 M= δ(x,y,z).V

                                               \( \frac{M}{V} \) = δ(x,y,z)

                                               \( \frac{M}{2πhar} \)= δ(x,y,z)


c) Calcular el momento de inercia Iz respecto del eje z.

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+y^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r^2 \frac{M}{2πhar}\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r \frac{M}{2πha}\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \frac{aM}{2} \)



d) Calcular el momento de inercia Iy respecto del eje y (que pasa por el centro geométrico).


Iy = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+z^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

En este caso, \( x^2+z^2 \) también seria \( r^2 \)?? Es decir daría igual que Iz?

[feriva]

Sisi muchas gracias, lo he entendido. Quisiera saber si estos puntos siguientes estan correctos:

El volumen con la integral triple me dio 2\( \pi \) har

Hola. Te has despistado al operar, has mezclado la variable "r" de la función la del dominio y te sale un  2 que se tenía que haber cancelado; mira:

\( V={\displaystyle \int_{0}^{a}\int_{-h/2}^{h/2}\int_{0}^{2\pi}r\; d\varphi\; dz\; d}r\Rightarrow
  \)

\( {\displaystyle \int_{0}^{a}\int_{-h/2}^{h/2}\left({\color{blue}\int_{0}^{2\pi}r\; d\varphi}\right)\; dz\; d}r
  \)

\( {\color{blue}\int_{0}^{2\pi}r\; d\varphi}=r\int_{0}^{2\pi}\; d\varphi=2\pi r-0\cdot r=2\pi r
  \)

...

\( {\displaystyle \int_{0}^{a}\left({\color{blue}\int_{-h/2}^{h/2}2\pi r\; dz}\right)\; d}r
  \)

\( {\color{blue}2\pi r\int_{-h/2}^{h/2}\; dz}=2\pi r\cdot\dfrac{h}{2}-(-2\pi r\cdot\dfrac{h}{2})=\pi rh+\pi rh=2\pi rh
  \)

...

\( {\displaystyle 2\pi h\int_{0}^{a}\, r\; d}r=2\pi h\cdot\dfrac{a^{2}}{2}-2\pi h\cdot\dfrac{0^{2}}{2}=2\pi h\cdot\dfrac{a^{2}}{2}-0={\color{blue}V=\pi ha^{2}}
  \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sisi muchas gracias, lo he entendido. Quisiera saber si estos puntos siguientes estan correctos:

El volumen con la integral triple me dio 2\( \pi \) har

Mal. ¿Quién se supone que es \( r \)?.

\( V=\displaystyle\int_{0}^{a}\int_{-h/2}^{h/2}\int_{0}^{2\pi}r\; d\varphi \; dz \; dr=2\pi\displaystyle\int_{0}^{a}\int_{-h/2}^{h/2}r\; dz \; dr=2\pi h\displaystyle\int_{0}^{a}r\; dz =2\pi h\cdot\left. \dfrac{r^2}{2}\right]_0^a=2\pi h\cdot \dfrac{a^2}{2}=\pi h a^2 \)

b) Obtener la expresión de la densidad en función de la masa y de las dimensiones.

Sea M la masa total,entonces:
                                                 M= δ(x,y,z).V

                                               \( \frac{M}{V} \) = δ(x,y,z)

                                               \( \frac{M}{2πhar} \)= δ(x,y,z)


c) Calcular el momento de inercia Iz respecto del eje z.

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+y^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r^2 \frac{M}{2πhar}\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r \frac{M}{2πha}\, dz\, dr\, d\phi \)

Iz = \( \frac{aM}{2} \)

El error inicial te obliga a corregir todo esto. Además al usar coordenadas polares sería:

\( Iz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+y^2)\delta (x,y,z)\color{red}r\color{black}\, dz\, dr\, d\phi \)

d) Calcular el momento de inercia Iy respecto del eje y (que pasa por el centro geométrico).


Iy = \( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+z^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

En este caso, \( x^2+z^2 \) también seria \( r^2 \)?? Es decir daría igual que Iz?

No. En coordenadas cilíndricas \( x=r cos(\phi) \) y por tanto \( x^2+z^2=r^2cos^(\phi)+z^2 \).

Saludos.

P.D. Cuando escribas fórmulas en LaTeX no lo hagas dejando un trozo de fórmula fuera. No escribas:

Iy = [tex]\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+z^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi[/tex]

sino:

[tex]Iy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} (x^2+z^2)\delta(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi[/tex]

[Facufacufacufacu]

Muchas gracias, ya he corregido todo, nose que ha pasado que calcule mal el volumen

El volumen con la integral triple me dio \( \pi ha^2 \)

b) Obtener la expresión de la densidad en función de la masa y de las dimensiones.

Sea M la masa total,entonces:
                                               \(   M= δ(x,y,z).V \)

                                               \( \frac{M}{V} = δ(x,y,z) \)

                                               \( \frac{M}{\pi ha^2}= δ(x,y,z) \)


c) Calcular el momento de inercia Iz respecto del eje z.

\( Iz =\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (x^2+y^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r r^2 \frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r^3 \frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \frac{a^2M}{2} \)



d) Calcular el momento de inercia Iy respecto del eje y (que pasa por el centro geométrico).


\( Iy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (x^2+z^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (r^2cos^2(\phi)+z^2)\frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

Esto lo resolvi con un software de computadora y me dio como resultado:

\( Iy = \frac{M(3a^2+h^2)}{12} \)

Entonces acá al decir que pasa por el centro tomaría h=0?

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias, ya he corregido todo, nose que ha pasado que calcule mal el volumen

El volumen con la integral triple me dio \( \pi ha^2 \)

b) Obtener la expresión de la densidad en función de la masa y de las dimensiones.

Sea M la masa total,entonces:
                                               \(   M= δ(x,y,z).V \)

                                               \( \frac{M}{V} = δ(x,y,z) \)

                                               \( \frac{M}{\pi ha^2}= δ(x,y,z) \)


c) Calcular el momento de inercia Iz respecto del eje z.

\( Iz =\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (x^2+y^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r r^2 \frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r^3 \frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iz = \frac{a^2M}{2} \)



d) Calcular el momento de inercia Iy respecto del eje y (que pasa por el centro geométrico).


\( Iy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (x^2+z^2)δ(x,y,z)\, dz\, dr\, d\phi \)

\( Iy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{-h/2}^{h/2} r (r^2cos^2(\phi)+z^2)\frac{M}{\pi ha^2}\, dz\, dr\, d\phi \)

Esto lo resolvi con un software de computadora y me dio como resultado:

\( Iy = \frac{M(3a^2+h^2)}{12} \)

Bien.

Entonces acá al decir que pasa por el centro tomaría h=0?

No; que el eje \( Y \) pasa por el centro es una observación sin más.

Saludos.