\( \left |{\displaystyle\frac{\left |{x-2}\right |-3}{\left |{x}\right |-1}}\right |\geq{}4 \)
No se si habría que hacer algo distinto, pero no veo por donde pillarlo. ¿Que tendría que tener en cuenta en el procedimiento cuando me encuentro valores absolutos en el denominador o valores absolutos dentro de valores absolutos?
Ah, pero si sabes mucho, sabes más que yo, creí que era una pregunta más general
Hace mucho que no opero inecuaciones de éstas, no obstante, intentaré cosas que se pueden hacer (no sé si me voy a equivocar... repasa bien lo que hago):
En principio, aplicando una de las famosas propiedades del valor absoluto
\( \left|{\displaystyle \frac{\left|x-2\right|-3}{\left|x\right|-1}}\right|={\displaystyle \frac{|\left|x-2\right|-3|}{|\left|x\right|-1|}}
\)
Entonces
\( \left|{\displaystyle \frac{\left|x-2\right|-3}{\left|x\right|-1}}\right|\geq4\Rightarrow
\)
\( {\displaystyle |\left|x-2\right|-3|}\geq4||x|-1|
\)
Hemos multiplicado por un número positivo, por un valor absoluto; no cambia el signo de la desigualdad.
Otra famosa propiedad es que \( |a||b|=|ab|
\); así que, como 4=|4|, puedo hacer
\( {\displaystyle |\left|x-2\right|-3|}\geq|4|x|-4|
\)
y por la misma razón
\( {\displaystyle |\left|x-2\right|-3|}\geq||4x|-4|
\)
Ahora, si x fuera negativo, tendríamos en cualquier caso \( |4x|=4x \); entonces:
\( {\displaystyle |\left|x-2\right|-3|}\geq|4x-4|=4|x-1|
\)
\( {\displaystyle |\left|x-2\right|-3|}\geq4|x-1|
\)
Y ahora, por ejemplo, si elevas al cuadrado a ambos lados puedes escribir
\( {\displaystyle (\left|x-2\right|-3)^{2}}\geq16(x-1)^{2}
\)
\( {\displaystyle (x-2)^{2}+9-6|x-2|}\geq16(x-1)^{2}
\)
Y ahí sólo hay ya un valor absoluto, aunque la expresión se hace más larga y pesada.
(*Mucho mejor si haces más caso a Luis, que él sabe).
Saludos.
