Resolvi este problema de optimización, no cuento con las respuestas podrían decirme si es correcto.
En una fábrica necesitan diseñar una lata cilíndrica sin tapa que contenga 1000 cm3 de liquido utilizando la menor cantidad de hojalata posible. Determina las dimensiones de la lata.
Para empezar armé las 2 ecuaciones:
Comienzo con volumen \( V=\pi .r^2 .h \) en el contexto de mi problema es \( 1000=\pi .r^2 .h \)
Ahora el área areabase=\( \pi r^2 \) arealateral=\( 2\pi r.h \)
Areatotal=\( \pi r^2 + \pi .r.h \)
Igualando armo la funcion \( At(r)= \pi r^2 +\displaystyle\frac{1000}{r} \)
Derivo e igualo a 0 la derivada para encontrar puntos críticos.
\( At`(r)=2 \pi r -\displaystyle\frac{1000}{r^2}=0 \) punto critico \( r=5,41 \)
Hago la derivada segunda en función de r y me da que es un mínimo relativo.
Ahora me queda contestar el problema dar las dimensiones de la lata
\( 1000=\pi .r^2 .h \) reemplazo r: \( h=10,875 \)
Entonces las dimensiones de la lata serian \( r=5,41 \) y \( h=10.875 \) ¿Es correcto?
