Muchas gracias por esa respuesta he entendido varias cosas pero todavía sigo teniendo algunas dudas
1) por qué has elegido específicamente la forma
\( 7\leq{x}<8\Rightarrow{8\leq{x+1}<9}\Rightarrow{\displaystyle\frac{8}{7}\leq{\displaystyle\frac{x+1}{7}}<\displaystyle\frac{9}{7}}\Rightarrow{1\displaystyle\frac{1}{7}\leq{\displaystyle\frac{x+1}{7}}<1\displaystyle\frac{2}{7}} \)
ya que en el ejercicio se hacer referencia al \( 7 \) pero no al \( 8 \) Puedo suponer que es para seguir la secuencia
¿Cómo se averigua a que tiende
r(x), cuando se acerca a
7 por la derecha? Una forma es conocer a la función
r(x) en un intervalo de la forma
(7,a) donde
a>7 , de esta forma conoces a
r(x) en los puntos que están a la derecha de
7 (incluso puedes
graficar la función en ese intervalo),
a puede ser cualquier número (obviamente que pertenezca al dominio de
r(x) y
a>7), elegí esta forma por que la considero didáctica y tomé el
8 por que es un número entero y así es más fácil operar. Ahora si adémas se desea conocer la continuidad de la función en
7, el intervalo a considerar será
[7,8), ya que en ese intervalo se conoce el valor de la función
r(x) en
7.
2) porque da como resultado \( 1 \)
\( 7\leq{x}<8\Rightarrow{[\displaystyle\frac{x+1}{7}]=1} \).
Supongo que entiendes (se ha demostrado) que : si \( 7\leq{x}<8\Rightarrow{1\displaystyle\frac{1}{7}\leq{\displaystyle\frac{x+1}{7}}<1\displaystyle\frac{2}{7}} \).
Entonces si \( 7\leq{x}<8 \), el conjunto de enteros : \( \left\{{1,0,-1,-2,-3,...}\right\} \) son menores o iguales a \( \displaystyle\frac{x+1}{7} \), la razón es que todos ellos son menores que \( 1\displaystyle\frac{1}{7} \) y por ser \( 1\displaystyle\frac{1}{7}\leq{\displaystyle\frac{x+1}{7}} \), se tiene que todos esos enteros son menores que \( \displaystyle\frac{x+1}{7} \).
El mayor de esos enteros (
1), por definición es la parte entera de \( \displaystyle\frac{x+1}{7} \) en consecuencia \( [\displaystyle\frac{x+1}{7}]=1 \), si \( 7\leq{x}<8 \)
Saludos
