[laurasanchez]

Hola, me piden demostrar que el número de particiones de un número natural n cuyos
sumandos son menores o iguales que a, es igual al número de particiones de n con
un número de sumandos menor o igual que a.   


por ejemplo 4 tiene 8 composiciones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+3, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1
pero 4 solo tiene estas particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.
si tomo a=2, las particiones cuyos sumandos son menores o iguales que a son 3: 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1
y el número de particiones de 4 con un numero de sumandos menor o igual que 2 tambien es 3 (4, 3+1, 2+2), pero cómo puedo probarlo de forma general? Muchas gracias

[Gustavo]

Hola,

Yo creo que tienes una biyección haciendo lo siguiente (no he comprobado si funciona):

Toma las particiones de tu ejemplo: 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 y represéntalas en un diagrama

O O
O O

O
O
O O

O
O
O
O

Cuando giras esas representaciones (90 grados) tienes

O O
O O

O
O O O

O O O O

que corresponden a las particiones 4, 3+1, 2+2.

[laurasanchez]

¿A qué te refieres con comprobar si funciona? ¿Cómo puedo definir la biyección que hay entre la partición y su conjugada?
Muchas gracias por la ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

¿A qué te refieres con comprobar si funciona? ¿Cómo puedo definir la biyección que hay entre la partición y su conjugada?
Muchas gracias por la ayuda.

Técnicamente la idea de Gustavo se puede formalizar así. Si tenemos una partición de \( n \) con todos sus sumandos menores o iguales que \( a \):

\( a_1+a_2+\ldots+a_k=n \)

Se puede generar una partición con a lo sumo \( a \) sumandos:

\( b_1+b_2+\ldots+b_m=n \)

siendo \( m=max\{a_1,a_2,\ldots,a_k\} \) y:

\( b_i=cardinal(\{j|a_j\geq i\}) \)

Saludos.

[laurasanchez]

Hola, entiendo la formalización, pero no tendría que demostrarlo de alguna forma?
Gracias,
un saludo

[Gustavo]

Hola,

Hola, entiendo la formalización, pero no tendría que demostrarlo de alguna forma?

Sí. A todo eso me refería con comprobar si funciona. Llama \( A_n \) al conjunto particiones de n cuyos sumandos son menores o iguales que a, y \( B_n \) al conjunto de particiones de n con un número de sumandos menor o igual que a. Entonces con lo que te indicó Luis tienes una función \( f:A_n\to B_n \). Debes ahora mostrar que esa función es biyectiva. Un camino es construir su inversa (y verificar que efectivamente lo es).