[castrokin]

Hola amigos
me he encontrado con este enunciado que me tiene un poco mal ya que no he podido encontrar la manera de resolverlo 
se me pide que dada la función \( f\left({x}\right)=\sqrt{x+1} \)
calcular
\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{}\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h} \)

me gustaría que me pudieran ayudar con este ejercicio
muchas gracias

[Masacroso]

Hola amigos
me he encontrado con este enunciado que me tiene un poco mal ya que no he podido encontrar la manera de resolverlo 
se me pide que dada la función \( f\left({x}\right)=\sqrt[ ]{x+1} \)
calcular
\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{}\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h} \)

me gustaría que me pudieran ayudar con este ejercicio
muchas gracias

Tienes que

\( \displaystyle{\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}h&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\cdot\frac{\sqrt{h+3}+\sqrt3}{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=
\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{h+3}+\sqrt3)}\\&=\lim_{h\to 0}\frac1{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=\frac1{2\sqrt3}\end{align*}} \)

Lo que he hecho es lo que se suele hacer para eliminar raíces de un numerador o denominador, que es multiplicar por el "conjugado" del numerador para poder usar así diferencia de cuadrados.

También fíjate que \( f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h+2)-f(2)}h \), es decir, el límite es la derivada de \( f \) en \( 2 \), lo cual también puede calcularse sabiendo que \( f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}} \).

[manooooh]

Hola

Además de lo dicho por Masacroso, notá que esto no se trata de un límite de una sucesión porque, principalmente, tenemos una función que depende de \( x \) y, por otro, el límite no tiende a infinito. Te están pidiendo la definición de derivada en un punto.

Saludos

[castrokin]

Tienes que

\( \displaystyle{\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}h&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\cdot\frac{\sqrt{h+3}+\sqrt3}{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=
\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{h+3}+\sqrt3)}\\&=\lim_{h\to 0}\frac1{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=\frac1{2\sqrt3}\end{align*}} \)

Lo que he hecho es lo que se suele hacer para eliminar raíces de un numerador o denominador, que es multiplicar por el "conjugado" del numerador para poder usar así diferencia de cuadrados.

También fíjate que \( f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h+2)-f(2)}h \), es decir, el límite es la derivada de \( f \) en \( 2 \), lo cual también puede calcularse sabiendo que \( f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}} \).

Muchas gracias por su pronta respuestas amigos pero me preguntaba como han conseguido cambiar la formula original

\( \displaystyle{\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}h&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\cdot\frac{\sqrt{h+3}+\sqrt3}{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=
\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{h+3}+\sqrt3)}\\&=\lim_{h\to 0}\frac1{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=\frac1{2\sqrt3}\end{align*}} \)

a esa nueva formula de limite
esperando su pronta respuesta gracias

[Masacroso]

Muchas gracias por su pronta respuestas amigos pero me preguntaba como han conseguido cambiar la formula original

\( \displaystyle{\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}h&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\cdot\frac{\sqrt{h+3}+\sqrt3}{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=
\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{h+3}+\sqrt3)}\\&=\lim_{h\to 0}\frac1{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=\frac1{2\sqrt3}\end{align*}} \)

a esa nueva formula de limite
esperando su pronta respuesta gracias

No entiendo muy bien a qué te refieres, ¿podrías ser más específico? Lo único que he hecho es poner los valores de la función y multiplicar y dividir por \( \sqrt{x+3}+\sqrt 3 \). Si \( f(x)=\sqrt{x+1} \) entonces \( f(h+2)=\sqrt{(h+2)+1}=\sqrt{h+3} \).

[castrokin]

Gracias por tu respuesta
me refería al cambio que hacías de:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h}} \)

a

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{h+3} -\sqrt[ ]{3}}{h}} \)

Entiendo como obtuviste el resultado 

\( \sqrt[ ]{h+3} \)

pero no entiendo de donde obtuviste el

\( -\sqrt[ ]{3} \)

me gustaría que me explicaras un poco mas ese cambio

[manooooh]

Hola

me refería al cambio que hacías de:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h}} \)

a

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{h+3} -\sqrt[ ]{3}}{h}} \)

Entiendo como obtuviste el resultado 

\( \sqrt[ ]{h+3} \)

pero no entiendo de donde obtuviste el

\( -\sqrt[ ]{3} \)

me gustaría que me explicaras un poco mas ese cambio

Armar un límite que signifique "algo" (como la continuidad, derivabilidad, diferenciabilidad, etcétera) es como armar una receta de comida.

Primer buscás los ingredientes y luego empezás a cocinar la torta. Si no tenés algún ingrediente no podrás preparar la torta, pero si los tenés todos (y están dentro de la fecha de vencimiento) entonces podrás empezar a armar la torta. Ahora falta cocinarla (salteando varios pasos); si la torta no se cocinó bien entonces no será una torta, pero si se cocinó bien entonces saldrá deliciosa.

Con límites pasa lo mismo. Los "ingredientes" son las cosas que ves marcadas en colores:

\( \displaystyle\lim_{\color{orange}h\to 0}\frac{\color{red}f(2+h)\color{black}-\color{blue}f(2)}{\color{green}h}. \)

Vamos de a partes. ¿Podés concluir qué es lo que se pide?

Ahora iré a comer, luego amplío.

Saludos

[castrokin]

Ya he entendido
si sustituyo la \( x \) en

\( f(x)=\sqrt{x+1} \)

por el valor \( f(h+2) \) me daria el resultado \( \sqrt{h+3} \)

igual sucedería si sustituyo el valor de la \( x \) en \( f(x)=\sqrt{x+1} \) por \( 2 \) en la segunda operación me daria como resultado \( \sqrt[ ]{3} \)

estoy en lo correcto? 

[manooooh]

Hola

Ya he entendido
si sustituyo la \( x \) en

\( f(x)=\sqrt{x+1} \)

por el valor \( f(h+2) \) me daria el resultado \( \sqrt{h+3} \)

igual sucedería si sustituyo el valor de la \( x \) en \( f(x)=\sqrt{x+1} \) por \( 2 \) en la segunda operación me daria como resultado \( \sqrt[ ]{3} \)

estoy en lo correcto? 

¡Sí, muy bien!

Ponete ejemplos más fáciles: considerá la función \( g:\Bbb R\to\Bbb R\mid g(x)=x \). Es la recta que corta al primer y tercer cuadrante por la mitad.

Si hacés \( g(2) \) ahora \( x \) vale \( 2 \) a la derecha del \( = \), por lo que \( g(2)=2 \). Si tomás \( g(-500) \) ahora lo de la derecha tendrá valor \( x=-500 \). Y si \( g(1+h+\sqrt3m) \), ¿cuánto vale ahora la función?

Saludos