[Asdfgh]

Buenas, es la primera vez que curso esta asignatura y estoy un poco perdido, necesitaría ayuda con este ejercicio de la relación que no se por donde cogerlo, me he leido la teoría del tema pero sigo con dificultades para solucionarlo, agradecería vuestra ayuda:

Sea \( (X_1,X_2,...,X_n) \), una muestra aleatoria simple de una variable \( X\rightarrow{\{P(\lambda);\lambda \in \mathbb{R}^+\}} \) y sea \( T(X_1,X_2,...,X_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} \) su estadístico. Probar:
a) usando la definición que \( T \) es suficiente para \( \lambda \)
b) aplicando el teorema de factorización que \( T \) es suficiente para \( \lambda \)

Gracias!

[martiniano]

Hola.

A ver si esto te sirve para la a):

Spoiler

\( P(X_1=x_1;...;X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\cdot{}...\cdot{}P(X_n=x_n)=\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_1}}{x_1!}\cdot{}...\cdot{}\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_n}}{x_n!}= \)
\( =\displaystyle\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{x_1+...+x_n}}{x_1!\cdot{}...\cdot{}x_n!} \)

Ahora viene cuando utilizo el hecho de que la suma de \( n \) variables de Poisson con parámetro \( \lambda \) es una variable de Poisson con parámetro \( n\lambda \). ¿Conoces ese resultado?

\( P(T=x_1+...+x_n)=P(Poiss(n\lambda)=x_1+...+x_n)=\displaystyle\frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^{x_1+...+x_n}}{(x_1+...+x_n)!} \)

Entonces:

\( P(X_1=x_1;...;X_n=x_n/T=x_1+...+x_n)=\displaystyle\frac{P(X_1=x_1;...;X_n=x_n;T=x_1+...+x_n)}{P(T=x_1+...+x_n)}= \)
\( =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{x_1+...+x_n}}{x_1!\cdot{}...\cdot{}x_n!}}{\displaystyle\frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^{x_1+...+x_n}}{(x_1+...+x_n)!}}=\displaystyle\frac{(x_1+...+x_n)!}{x_1!\cdot{}...\cdot{}x_n!n^{x_1+...+x_n}} \)

Al no depender este probabilidad de \( \lambda \) el estadístico es suficiente.

[cerrar]

Para la b):

Spoiler

La función de verosimilitud de la muestra del enunciado es:

\( L(X_1,...,X_n;\lambda)=\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_1}}{X_1!}\cdot{}...\cdot{}\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_n}}{X_n!}=e^{-n\lambda}\lambda^T\cdot{}\displaystyle\frac{1}{X_1!\cdot{...}\cdot{}X_n!} \)

Dicha función cumple la condición para que el estimador sea suficiente.

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Espero que todo haya quedado claro. Saludos.