[castrokin]

Buenas chicos espero que la pasen bien me gustaría que me ayudaran con este problema matemático
Me indican dos sucesiones \( \left\{{a_n}\right\}=\sqrt[ 3]{125n^2 -6n} \)  y \( \left\{{b_n}\right\}=5n^2 \)
Con estas sucesiones se me pide determinar el \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}\left\{{a_n-b_n}\right\} \)
Me gustaría mucho el paso a paso ya que me está volviendo loco este ejercicio jejeje 
muchas gracias a todos

[manooooh]

Hola

Me indican dos sucesiones \( \left\{{a_n}\right\}=\sqrt[ 3]{125n^2 -6n} \)  y \( \left\{{b_n}\right\}=5n^2 \)
Con estas sucesiones se me pide determinar el \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}\left\{{a_n-b_n}\right\} \)

No puedo decirte qué sentido "geométrico/matemático" significa la resta de dos sucesiones y tenderlas al infinito porque no lo sé (alguien más puede hacerlo, estaría encantado).

Sólo puedo decirte que se trata de resolver el siguiente límite:

\( \begin{aligned}
&\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}-5n^2\right)}\\\\
=&\left\lbrace\infty-\infty\right\rbrace\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}-5n^2\right)\frac{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2\right)}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2\right)}}\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\sqrt[3]{(125n^2-6n)^2}-25n^4}{\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2}}\\\\
\underset{\div n^4}=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{\sqrt[3]{(125n^2-6n)^2}}{n^4}-25\frac{n^4}{n^4}}{\frac{\sqrt[3]{125n^2-6n}}{n^4}+5\frac{n^2}{n^4}}}\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\sqrt[3]{\frac{(125n^2-6n)^2}{n^{12}}}-25}{\sqrt[3]{\frac{125n^2-6n}{n^{12}}}+\frac5{n^2}}}\\\\
=&\frac{0-25}{0+0}\\\\
\to&\boxed{-\infty}.
\end{aligned} \)

Saludos

[castrokin]

Gracias por responder pero me gustaría saber ¿Por qué colocas las las mismas raíces tanto en el denominador como en el numerador? muchas gracias

[manooooh]

Hola

Porque este tipo de indeterminaciones se salvan multiplicando y dividiendo por el conjugado, arreglando un poco y dividir por la variable de mayor grado. En este caso 4 es la potencia de mayor exponente.

Buscá en Internet ejemplos de esta indeterminación y en la mayoría de los casos se resuelve así (y si la potencia es un número impar se aplican fórmulas de factorización de diferencia de "cuadrados").

Si tenés preguntas no dudes en consultar.

Saludos

[castrokin]

Muchas gracias por tu pronta respuesta he estado investigando y tienes razón gracias has resuelto mi problema