Hola!
Dadas las superficies definidas por
\( S_1:Ax^2+\frac14y^2-z^2=0,\quad S_2:x^2+By^2=z: \)
a) Halle en cada caso la curva intersección de la superficie con el plano \( z=2 \) e indique en qué caso las dos intersecciones resultan ser iguales. Grafique las superficies y la curva.
b) Identifique la superficie \( S_2 \) para los distintos valores de \( B \). Grafique para el caso \( B=0 \).
a)
En primer lugar escribamos de forma más visible ambas superficies:
\( S_1:\dfrac{x^2}{1/A}+\dfrac{y^2}4=z^2,\quad S_2:x^2+\dfrac{y^2}{1/B}=z \)
y ahora hallemos la intersección con el plano \( z=2 \):
\( S_1\cap(z=2):\begin{cases}\dfrac{x^2}{1/A}+\dfrac{y^2}4=z^2\\z=2\end{cases}\equiv\begin{cases}\dfrac{x^2}{1/A}+\dfrac{y^2}4=4\\z=2\end{cases}\equiv\begin{cases}\dfrac{x^2}{2/A}+\dfrac{y^2}8=2\\z=2,\end{cases}\quad S_2\cap(z=2):\begin{cases}x^2+\dfrac{y^2}{1/B}=z\\z=2\end{cases}\equiv\begin{cases}x^2+\dfrac{y^2}{1/B}=2\\z=2.\end{cases} \)
Hasta acá entiendo, pero luego no sé diferenciar lo que el apartado a) pide en cada caso:
a) [[ Halle en cada caso la curva intersección de la superficie con el plano \( z=2 \) ]] e [[ indique en qué caso las dos intersecciones resultan ser iguales. Grafique las superficies y la curva ]].
¿
"Halle en cada caso la curva intersección de la superficie con el plano \( z=2 \)" ya está hecho?
¿Cómo sabemos qué curva es si depende de cada constante \( A \) o \( B \)?Para
"Indique en qué caso las dos intersecciones resultan ser iguales. Grafique las superficies y la curva" hice lo siguiente:
Como ambas curvas tienen los mismos términos independientes, significan que son iguales. Comparando coeficientes:
\( \dfrac{x^2}{2/A}+\dfrac{y^2}8=x^2+\dfrac{y^2}{1/B}\iff\dfrac2A=1\;\wedge\;8=\dfrac1B\iff A=2\;\wedge\;B=\dfrac18, \)
por lo tanto
\( \boxed{\text{El caso en donde las dos intersecciones (con el plano }z=2\text{) ocurre cuando }A=2\text{ y }B=1/8,\text{ y el gráfico de la situación es}} \)
¿Es correcto mostrar ambos gráficos?
b)
Recordemos que la superficie es
\( S_2:x^2+By^2=z. \)
- Si \( B>0 \) entonces \( B=|B| \) entonces \( x^2+|B|y^2=z \), que representa un paraboloide infinito;
- Si \( B=0 \) entonces \( x^2=z\;\forall y\in\Bbb R \), que es una superficie cilíndrica parabólica de eje \( y \);
- Si \( B<0 \) entonces \( B=-|B| \) entonces \( x^2-|B|y^2=z \), que representa un paraboloide hiperbólico.
El gráfico cuando \( B=0 \) es
¿Está bien? ¿Agregarían más características a las superficies (vértice, de qué eje, etc.)?
Gracias!
Saludos
