[Hauss]

Hola, necesito por favor su ayuda para llegar a la demostracion del siguiente enunciado por medio de induccion matematica:

Supongase que \( a_{i+1}-a_{i}=r \) para toda i. Demuestrese que:

\( a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\displaystyle\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2} \)

Gracias.

[delmar]

Hola

Para n=1 es obvio

Para n+1 se tiene :

\( a_1+a_2+...a_n+a_{n+1}=\displaystyle\frac{(a_1+a_n)n}{2}+a_{n+1}=\displaystyle\frac{(a_1+a_n)n+2a_{n+1}}{2} \) considerando válido para n

Se tiene que demostrar que la última expresión es igual a : \( \displaystyle\frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2} \)

Pero  \( \displaystyle\frac{(a_1+a_n)n+2a_{n+1}}{2}=\displaystyle\frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2}\Leftrightarrow{a_{n+1}-a_1=n(a_{n+1}-a_n)} \) Ec. A

Hay que demostrar la última expresión y queda demostrado el teorema.

Observa :

\( a_1=a_1+0r \)

\( a_2=a_1+r \)

\( a_3=a_1+2r \)

.....

\( a_{n+1}=a_1+nr \)

Utilizando este último resultado (se puede demostrar por inducción también es sencillo)

\( a_{n+1}-a_1=nr \)

Por hipótesis : \( (a_{n+1}-a_n)=r\Rightarrow{n(a_{n+1}-a_n)=nr} \)

Por lo tanto \( a_{n+1}-a_1=n(a_{n+1}-a_n) \) con lo que se llega a la Ec. A y queda demostrado el teorema.

Saludos

[Hauss]

Hola

Para n=1 es obvio

Para n+1 se tiene :

\( a_1+a_2+...a_n+a_{n+1}=\displaystyle\frac{(a_1+a_n)n}{2}+a_{n+1}=\displaystyle\frac{(a_1+a_n)n+2a_{n+1}}{2} \) considerando válido para n

Se tiene que demostrar que la última expresión es igual a : \( \displaystyle\frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2} \)

Pero  \( \displaystyle\frac{(a_1+a_n)n+2a_{n+1}}{2}=\displaystyle\frac{(a_1+a_{n+1})(n+1)}{2}\Leftrightarrow{a_{n+1}-a_1=n(a_{n+1}-a_n)} \) Ec. A

Hay que demostrar la última expresión y queda demostrado el teorema.

Observa :

\( a_1=a_1+0r \)

\( a_2=a_1+r \)

\( a_3=a_1+2r \)

.....

\( a_{n+1}=a_1+nr \)

Utilizando este último resultado (se puede demostrar por inducción también es sencillo)

\( a_{n+1}-a_1=nr \)

Por hipótesis : \( (a_{n+1}-a_n)=r\Rightarrow{n(a_{n+1}-a_n)=nr} \)

Por lo tanto \( a_{n+1}-a_1=n(a_{n+1}-a_n) \) con lo que se llega a la Ec. A y queda demostrado el teorema.

Saludos

Saludos, muchisimas gracias de verdad.