Hola
Mmmm veo... ¿La respuesta para el apartado a) es \( \boxed{\forall k\in\Bbb R\setminus\{-1\}} \)?
Si. Fíjate que el problema es equivalente a: hallar los valores de \( k \) para que el sistema:
\( \begin{pmatrix}1&0&0\\0&k&1\\0&1&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix} \)
sea compatible. Puede resolverse planteando la matriz ampliada y escalonándola por Gauss. La compatibilidad equivale a que el rango de la matriz del sistema y la ampliada coincidan.
\( \left(\begin{array}{ccc:c}1&0&0&0\\0&k&1&0\\0&1&k&0\end{array}\right) \)
No entiendo por qué si \( k=0 \) el sistema tiene dimensión cero, ¿porque está formado por el vector nulo pues con \( k=0 \) tenemos \( \alpha=\beta=\gamma=0 \)?
Si \( k=0 \) la solución de sistema tiene dimensión cero porque la matriz tiene el rango máximo 3. Pero en realidad no es un caso que haya que estudiar de manera separada.
En general un sistema homogéneo tiene una solución de dimensión: \( \textsf{nº de incógnitas}-rango(\textsf{matriz asociada}) \).
En tu caso tienes que hallar \( k \) para que el rango de la matriz sea \( 2 \).
Por otro lado, con \( k\neq0 \):
\( \left(\begin{array}{ccc:c}1&0&0&0\\0&\boxed k&1&0\\0&1&k&0\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc:c}k&0&0&0\\0&k&1&0\\0&0&\boxed{k^2-1}&0\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc:c}k(k^2-1)&0&0&0\\0&k(k^2-1)&0&0\\0&0&k^2-1&0\end{array}\right) \)
Ojo, porque ahí cometes un error grave a la hora de analizar rangos mediante operaciones elementales y escalonamiento. No puedes multiplicar las filas por términos que en el algunos casos puedan ser nulos.
Ya comienzas multiplicando la primera fila por \( k \). Se "perdona" porque previamente has supuesto \( k\neq 0 \), aunque como te dije no habría porque estudiar esa caso de manera separada.
Pero en el siguiente paso multiplicas por \( k^2-1 \) y eso ya no es admisible. Si \( k=\pm 1 \) ese número es cero y estarías multiplicando una fila por cero. ¡Claro así bajas el rango a cualquier matriz si multiplicas sus filas por cero!.
Lo que si puede hacerse (
y es bien distinto) es
a una fila sumarle otra multiplicada por cualquier número (incluido el cero); si en el peor de los casos le sumamos otra fila multiplicada por cero, pues dejaríamos todo como estaba.
Entonces la forma correcta de escalonar (no es la única) sería:
\( \left(\begin{array}{ccc:c}1&0&0&0\\0& k&1&0\\0&1&k&0\end{array}\right) \)
Cambiamos de orden las filas 2 y 3:
\( \left(\begin{array}{ccc:c}1&0&0&0\\0& 1&k&0\\0&k&1&0\end{array}\right) \)
A la tercera fila le restamos la segunda multiplicada por \( k \).
\( \left(\begin{array}{ccc:c}1&0&0&0\\0& 1&k&0\\0&0&1-k^2&0\end{array}\right) \)
Entonces vemos claramente que el rango es dos si \( k^2=1 \) y tres en otro caso.
no sé cómo seguir, pues si \( k=1 \) o \( k=-1 \) tiene rango (NO dimensión, aquí me confundo) cero;
No confundas el rango de la matriz asociada con la dimensión de la solución del sistema. Como te dije la relación entre ambos es:
\( \textsf{dimensión de la solución}=\textsf{nº de incógnitas}-rango(\textsf{matriz asociada}) \).
También, me gustaría saber:
¿Aquí \( \begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}^t \) indica la traspuesta de \( (1,1,1) \) o de \( \begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} \)?
Si; simplemente en muchos libros los vectores columna se escriben como uno fila traspuesto para ahorrar espacio.
Saludos.
