[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio de física

Una piedra se deja caer a un lago de tal forma que golpea la superficie con una rapidez de \( 16. 5 \displaystyle\frac{pie}{s} \). Mientras cae la piedra experimenta una aceleración de \( a=10-0.8 v \) donde \( a \) y \( v \) se expresan en  \( \displaystyle\frac{pie}{s^2} \) y \( \displaystyle\frac{pie}{s} \) , respectivamente. Si se observa que la piedra demora \( 3 \) segundos en irse al fondo

Determine
a) profundidad del lago
b)la rapidez de la piedra cuando llega al fondo

Dentro de todas las cosas que me complica es que la aceleración esta en función de la velocidad \( a=10-0.8 v \)

De antemano muchas gracias.


Saludos

[martiniano]

Hola.

Primero hay que resolver una ecuación diferencial para sacar la ecuación de la velocidad:

\( \frac{dv}{dt}=10-0.8v \)

Luego, para el apartado, (a) una integral definida para hallar el espacio total recorrido:

\( s= \displaystyle\int_{0}^{3} v(t)\, dt \)

Y para el (b) calcular \( v(3) \).

¿Con esto te basta? Si no es así, ¿en qué paso te quedas atascado?

Saludos.

[cristianoceli]

Hola.

Primero hay que resolver una ecuación diferencial para sacar la ecuación de la velocidad:

\( \frac{dv}{dt}=10-0.8v \)

Luego, para el apartado, (a) una integral definida para hallar el espacio total recorrido:

\( s= \displaystyle\int_{0}^{3} v(t)\, dt \)

Y para el (b) calcular \( v(3) \).

¿Con esto te basta? Si no es así, ¿en qué paso te quedas atascado?

Saludos.

Ok muchas gracias entiendo como hacerlo pero me quede atascado aca:

\( \displaystyle\frac{dv}{dt} = 10-0.8v  \)
\( \displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = dt \)
\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dv}{10-0.8v} = \displaystyle\int_{}^{} dt \)

resultando

\( - \displaystyle\frac{1}{0.8} ln (10-0.8v) = t \)
\( e^t= (10-0.8v) ^(-1.25) \)

De acá no se muy bien como despejar\(  v \)

De antemano gracias

[martiniano]

Hola.

Con esto lo tendrás:

\( -\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln(10-0.8v)=t+k\,\Rightarrow{\,}\ln(10-0.8v)=-0.8(t+k)\,\Rightarrow{\,}10-0.8v=e^{-0.8(t+k)}\,\Rightarrow{\ldots} \)

La \( k \) es una constante que tendrás que determinar con las condiciones iniciales que te da el enunciado (se me olvidó decírtelo antes) \( v(0)=16.5 \)

Saludos.

[cristianoceli]

Hola.

Con esto lo tendrás:

\( -\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln(10-0.8v)=t+k\,\Rightarrow{\,}\ln(10-0.8v)=-0.8(t+k)\,\Rightarrow{\,}10-0.8v=e^{-0.8(t+k)}\,\Rightarrow{\ldots} \)

La \( k \) es una constante que tendrás que determinar con las condiciones iniciales que te da el enunciado (se me olvidó decírtelo antes) \( v(0)=16.5 \)

Saludos.

Entiendo muchas gracias

Saludos

[cristianoceli]

Bien al plantear las condiciones iniciales resulta:

\( 10-0.8v=e^{-0.8(t+k)} \)
\( 10-0.8(16.5)=e^{-0.8k} \)

\( -3.2=e^{-0.8k} / (-1) \)

\( 3.2= -e^{-0.8k} \)

Aplicando logaritmo natural
\( ln(3.2)=0.8k \)

\( k= \displaystyle\frac{ln(3.2)}{0.8} \)
\( k = 1.45 \)


Reemplazando el valor de \( k \)

\( 10-0.8v=e^{-0.8(t+1.45)} \)


\( v = \displaystyle\frac{e^{-0.8t-1.16}-10}{-0.8} \)

Entonces basta integrar esta función  \( v = \displaystyle\frac{e^{-0.8t-1.16}-10}{-0.8} \)   entre 0 y 3 para encontrar el espacio recorrido?

De antemano gracias

[martiniano]

Hola.

Creo que te has hecho un lío con los signos. En parte porque a la hora de integrar hay que poner valores absolutos dentro de los logaritmos. Vayamos allá de nuevo:

\( -\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln\left |{10-0.8v}\right |=t+k\,\Rightarrow{\,}\ln\left |{10-0.8v}\right |=-0.8(t+k)\,\Rightarrow{\,}\left |{10-0.8v}\right |=e^{-0.8(t+k)}\,\Rightarrow{\,}\left |{10-0.8v}\right |=e^{-0.8k}e^{-0.8t} \)

Substituímos las condiciones iniciales y:

\( e^{-0.8k}=\left |{-3.2}\right |=3.2 \)

Y de aquí directamente:

\( \left |{10-0.8v}\right |=3.2e^{-0.8t} \)


EDITADO

La velocidad inicial es mayor que \( 10 \), Inicialmente, lo de dentro del valor absoluto va a ser negativo, y lo va a ser siempre, luego al quitar el valor absoluto va a haber que poner un menos, y de ahí:

\( v=\displaystyle\frac{10+3.2e^{-0.8t}}{0.8} \)

Espero que esté todo bien. Saludos.

[cristianoceli]

Hola.

Creo que te has hecho un lío con los signos. En parte porque a la hora de integrar hay que poner valores absolutos dentro de los logaritmos. Vayamos allá de nuevo:

\( -\displaystyle\frac{1}{0.8}\ln\left |{10-0.8v}\right |=t+k\,\Rightarrow{\,}\ln\left |{10-0.8v}\right |=-0.8(t+k)\,\Rightarrow{\,}\left |{10-0.8v}\right |=e^{-0.8(t+k)}\,\Rightarrow{\,}\left |{10-0.8v}\right |=e^{-0.8k}e^{-0.8t} \)

Substituímos las condiciones iniciales y:

\( e^{-0.8k}=\left |{-3.2}\right |=3.2 \)

Y de aquí directamente:

\( \left |{10-0.8v}\right |=3.2e^{-0.8t} \)


EDITADO

La velocidad inicial es mayor que \( 10 \), Inicialmente, lo de dentro del valor absoluto va a ser negativo, y lo va a ser siempre, luego al quitar el valor absoluto va a haber que poner un menos, y de ahí:

\( v=\displaystyle\frac{10+3.2e^{-0.8t}}{0.8} \)

Espero que esté todo bien. Saludos.

Ok muchas gracias por la correción. Ahora lo integro entre 0 y 3 y mato el ejercicio.


Saludos

[Masacroso]

Hola tengo dificultades con este ejercicio de física

Una piedra se deja caer a un lago de tal forma que golpea la superficie con una rapidez de \( 16. 5 \displaystyle\frac{pie}{s} \). Mientras cae la piedra experimenta una aceleración de \( a=10-0.8 v \) donde \( a \) y \( v \) se expresan en  \( \displaystyle\frac{pie}{s^2} \) y \( \displaystyle\frac{pie}{s} \) , respectivamente. Si se observa que la piedra demora \( 3 \) segundos en irse al fondo

Determine
a) profundidad del lago
b)la rapidez de la piedra cuando llega al fondo

Dentro de todas las cosas que me complica es que la aceleración esta en función de la velocidad \( a=10-0.8 v \)

De antemano muchas gracias.


Saludos

Una pregunta: ¿cuando se dice que cae la piedra te refieres a antes de chocar contra la superficie del agua o a la velocidad a la que se hunde? Imagino será lo segundo, porque sino no me explico cómo se puede calcular la profundidad del lago sin saber a la velocidad a la que se hunde.

[Abdulai]

...
Una pregunta: ¿cuando se dice que cae la piedra te refieres a antes de chocar contra la superficie del agua o a la velocidad a la que se hunde?
Imagino será lo segundo, porque sino no me explico cómo se puede calcular la profundidad del lago sin saber a la velocidad a la que se hunde.

Antes de chocar contra el agua tuvo que caer

- Te dan la velocidad inicial (la velocidad con que chocó contra el agua)
- La aceleración que experimenta dentro del agua  ( \( a=10-.8\,v \)), donde resolviendo la ED se obtiene la velocidad con que se hunde.
- El tiempo en que llega al fondo. Integrando la velocidad obtenés la distancia recorrida.